Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đu quay $R=60$ m. Độ dài cung tròn $120^{\circ }$ là $l=\frac{120}{360}\cdot 2\pi R=\frac{1}{3}\cdot 120\pi =40\pi \approx 125,66$ m. Ghế cách nhau 4 m nên số khoảng 4m nhiều nhất trong cung là $\lfloor \frac{125,66}{4}\rfloor =31$ khoảng, do đó số ghế tối đa là $31+1=32$ ghế (ghế ở cả hai đầu mút của cung).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vòng bánh xe đi được một chu vi: $C=\pi d=0,68\pi$ (m). Trong 1 phút (60 giây) bánh xe quay được $\frac{60}{5}\cdot 11=132$ vòng. Quãng đường đi được trong 1 phút: $s=132\cdot 0,68\pi =89,76\pi \approx 282$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi bánh xe: $C=\pi d=80\pi$ cm. Quay 5 vòng nên quãng đường $s=5\cdot 80\pi =400\pi$ cm. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường kính $60cm$ nên bán kính $R=30cm$. Trên mặt đồng hồ, mỗi giờ tương ứng góc $30^{\circ }$. Điểm $A$ ứng số 2, điểm $C$ ứng số 4 nên cung nhỏ $AC$ chắn góc ở tâm $(4-2)\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$. Độ dài cung nhỏ $AC=\frac{\pi }{3}\cdot 30=10\pi \approx 31,4cm$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 31,4.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe đường kính $100\text{cm}$ nên bán kính $r=50\text{cm}$. Chu vi bánh xe: $C=2\pi r=100\pi$ (cm). Quay 5 vòng, quãng đường đi được: $s=5\cdot 100\pi =500\pi$ (cm). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1112, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe đường kính $100\text{cm}$ nên bán kính $r=50\text{cm}$. Chu vi bánh xe: $C=2\pi r=100\pi$ (cm). Quay 5 vòng, quãng đường đi được: $s=5\cdot 100\pi =500\pi$ (cm). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường trong 21s: vận tốc $12\text{km/h}=\frac{12000}{3600}=\frac{10}{3}\text{m/s}$, nên quãng đường $s=\frac{10}{3}\cdot 21=70\text{m}$. Chu vi bánh xe: $C=\pi d=\pi \cdot 0,5\approx 1,5708\text{m}$. Số vòng: $\frac{70}{1,5708}\approx 44,56\approx 45$ vòng (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 45.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi bánh xe: $C=2\pi r=2\pi \cdot 50=100\pi$ (cm). Quay 5 vòng nên quãng đường đi được là $5\cdot 100\pi =500\pi$ (cm). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: đường đua gồm hai cạnh của hình chữ nhật rộng $2$ km và hai nửa đường tròn bán kính $1$ km. Gọi $O$ là tâm nửa đường tròn bên trái. Vì bán kính nửa đường tròn là $1$ km nên $O$ nằm trên đường nét đứt trái, cách mép trên và mép dưới của hình chữ nhật đúng $1$ km. Điểm $P$ cách mép dưới $\frac{1}{2}$ km (theo phương thẳng đứng) và cách đường nét đứt trái $2$ km (theo phương ngang). Chọn hệ trục tọa độ gốc $O$: khi đó $P$ có tọa độ $(-2;-1,5)$, nên $OP=\sqrt{2^2+1,5^2}=\sqrt{6,25}=2,5$ km. Điểm $Q$ trên đường đua gần $P$ nhất là giao điểm của tia $OP$ với nửa đường tròn trái (bán kính $1$ km), do đó $PQ=OP-R=2,5-1=1,5$ km. Kết quả khớp với đáp án nguồn: $1,5$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x+2{)}^2+y^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $(-2;0)$, bán kính $R=3>0$, nên là đường tròn. B là phương trình hyperbol, C là elip, D có hệ số $x^2$ và $y^2$ khác nhau nên không phải đường tròn. Khớp đáp án nguồn (đề 1002, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm nửa đường tròn bên trái, bán kính $r=1$ km (theo hình vẽ). Hình chữ nhật rộng $2$ km nên hai tâm nửa đường tròn cách nhau $2$ km. Chọn hệ tọa độ với $O(0;0)$, đường tròn trái: $x^2+y^2=1$. Theo hình vẽ, $P$ cách cạnh trái của hình chữ nhật $2$ km về phía trái và cách cạnh dưới $\frac{1}{2}$ km xuống dưới; vì cạnh dưới cách $O$ một khoảng $r=1$ km nên $P(-2;-1,5)$. Khi đó $OP=\sqrt{(-2{)}^2+(-1,5{)}^2}=\sqrt{6,25}=2,5$ km. Điểm $Q$ trên đường đua gần $P$ nhất nằm trên nửa đường tròn trái, là giao điểm của tia $PO$ với đường tròn (thuộc nửa đường tròn trái nên thỏa mãn), do đó $P{Q}_{\min }=OP-r=2,5-1=1,5$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất bằng $1,5$ km, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với $R>0$. Xét từng phương án: A: $(x+2{)}^2+y^2=9$ là đường tròn tâm $I(-2;0)$, bán kính $R=3$ — đúng. B: $\frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{5}=1$ là phương trình elip. C: $x^2+2y^2=2$ tương đương $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ cũng là elip. D: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ là phương trình hypebol. Vậy chỉ phương trình A là đường tròn, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1001, câu 2).

$A(3;0)$, $B(1;2)$, $d:2x+y=0$.

Gọi $I$ là tâm đường tròn $\Rightarrow I(x;-2x)$ vì $I\in d$.

$I{A}^2=I{B}^2\iff (3-x{)}^2+(2x{)}^2=(1-x{)}^2+(2+2x{)}^2\iff x=\frac{1}{3}\Rightarrow I\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$

Vậy tổng khoảng cách từ tâm $I$ đến các trục tọa độ bằng $\left|\frac{1}{3}\right|+\left|-\frac{2}{3}\right|=1$

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn: khoảng cách từ tâm lục giác đến mỗi cạnh (đường tròn nội tiếp) là $r=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ dm. Đỉnh mỗi parabol cách cạnh $3$ dm phía ngoài nên cách tâm $R=3+\sqrt{3}$ dm; sáu đỉnh này nằm trên đường tròn nên $R=3+\sqrt{3}$.

Diện tích hình tròn: $S_1=\pi (3+\sqrt{3}{)}^2=\pi (12+6\sqrt{3})\approx 70,34$ dm${}^2$.

Mỗi cánh hoa (hình parabol với dây cung dài $2$, chiều cao $3$) có diện tích $\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 3=4$ dm${}^2$. Diện tích hình hoa (lục giác đều cạnh 2 cộng 6 cánh hoa): $S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2^2+6\cdot 4=6\sqrt{3}+24\approx 34,39$ dm${}^2$.

Diện tích phần tô màu: $S_1-S_2=\pi (12+6\sqrt{3})-24-6\sqrt{3}\approx 70,34-34,39\approx 35,95\approx 36$ dm${}^2$.

a. (1.5đ)

Do tứ giác $IBCM$ nội tiếp nên $\widehat{IBA}=\widehat{IMA}$, suy ra hai tam giác $ABI$ và $AMI$ bằng nhau, nên $IM=IB$, từ đó suy ra $NI$ là phân giác $\widehat{ANM}$, suy ra $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $AMN$, nên $MN$ là tiếp tuyến của $(I)$.

b. (3.5đ)

Gọi $L$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ của $(O)$, bằng cách cộng góc, chẳng hạn theo thế hình trên thì $\widehat{LPE}=\widehat{LPB}+\widehat{BPE}=\widehat{LAB}+\widehat{BME}=90^o$, suy ra $PE$ đi qua điểm chính giữa $J$ của cung lớn $BC$ của $(O)$. | 1

Tương tự, $QF$ cũng đi qua $J$. | 1

Gọi $S_1$ là giao điểm của $d$ và $AJ$ thì $\frac{AJ}{A{S}_1}=\frac{AE}{AH}$.

Tương tự, gọi $S_2$ là giao điểm của $d^{\prime }$ và $AJ$ thì $\frac{AJ}{A{S}_2}=\frac{AF}{AK}$. | 1

Mặt khác, chứng minh được $EF\parallel MN$ nên $\frac{AE}{AH}=\frac{AF}{AK}$ suy ra $S_1$ trùng $S_2$. | 1

Từ đó $S$ thuộc $AJ$ nên $AS$ vuông góc với $AI$. | 0.5

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $A(-4;1),B(2;4),C(2;-2)$. Vì $B,C$ có cùng hoành độ nên $BC$ là đường thẳng đứng $x=2$, trung điểm $BC$ là $(2;1)$, đường trung trực của $BC$ là $y=1$. Trung điểm $AB$ là $(-1;\frac{5}{2})$, vectơ $\overrightarrow{AB}=(6;3)$ có hệ số góc $\frac{1}{2}$ nên đường trung trực của $AB$ có hệ số góc $-2$: $y-\frac{5}{2}=-2(x+1)\iff y=-2x+\frac{1}{2}$. Tâm ngoại tiếp $I$ là giao hai đường trung trực: $1=-2x+\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{1}{4}$, $y=1$. Vậy $x+y=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}=0,75$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hoa có 6 cánh hoa, mỗi cánh là một cung tròn tâm I với OI = 50 cm, đi qua các giao điểm M cách O một khoảng OM = 45 cm. Các giao điểm cách đều nhau trên đường tròn tâm O bán kính 45, nên góc giữa hai giao điểm liên tiếp tại O bằng 60°, do đó góc MOI = 30°.

Bán kính cung (cánh hoa):
$$r=IM=\sqrt{O{I}^2+O{M}^2-2\cdot OI\cdot OM\cdot \cos 30^{\circ }}=\sqrt{2500+2025-4500\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{4525-2250\sqrt{3}}\approx 25,06\text{ cm}.$$

Góc ở tâm I giữa hai giao điểm M, N (với MN = 2·45·sin30° = 45 cm):
$$\cos \widehat{MIN}=\frac{r^2+r^2-M{N}^2}{2r^2}=1-\frac{2025}{2r^2}\approx -0,6127\Rightarrow \widehat{MIN}\approx 128^{\circ }.$$

Phần cánh hoa (nét liền) là cung lớn nằm phía xa O, nên số đo cung xấp xỉ 360° − 128° = 232°.

Độ dài một cánh hoa:
$$l=\frac{\pi r\cdot 232^{\circ }}{180^{\circ }}\approx \frac{\pi \cdot 25,06\cdot 232}{180}\approx 101,4\text{ cm}.$$

Tổng độ dài 6 cánh hoa:
$$L\approx 6\cdot 101,4=608,4\text{ cm}\approx 6,08\text{ m}.$$

Vậy cô cần mua khoảng 6,08 m dây kim tuyến, khớp với đáp án nguồn 6.08.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-3;4)$ bán kính $R=2$ có phương trình $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2=4$, tức $(x+3{)}^2+(y-4{)}^2-4=0$. Đáp án A. (B sai tâm $(3;4)$, C sai vì $R^2=2$, D sai vì $(y+4{)}^2$ ứng với tâm $(-3;-4)$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các đỉnh lục giác đều cạnh 4 là A, B, C, D, E, F. Đường cong gồm 9 cung tròn: 3 cung lồi (ngoài) tâm tại A, C, E và 6 cung lõm (trong) tâm tại B, D, F.

Do tính đối xứng, các cung gặp nhau tại các điểm nằm trên các cạnh của lục giác. Gọi $R$ là bán kính cung tâm $A$ và $r$ là bán kính cung tâm $B$; điểm gặp nhau trên cạnh $AB$ thỏa mãn $R+r=4$.

Mỗi cung có độ dài $\frac{4\pi }{3}$. Cung tâm $A$ nối điểm trên tia $AB$ với điểm trên tia $AF$ nên góc ở tâm là $120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$ (giữa hai cạnh $AB$, $AF$). Suy ra $R=\frac{4\pi /3}{2\pi /3}=2$. Tương tự các cung khác cũng có góc ở tâm $\frac{2\pi }{3}$ và bán kính $r=4-2=2$. Kiểm tra: độ dài mỗi cung $=2\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$ ✓; các điểm nối chính là trung điểm các cạnh của lục giác.

Diện tích bao bọc = diện tích lục giác + 3 hình quạt tâm $A,C,E$ (nằm trong lục giác, mỗi quạt bán kính 2, góc $120^{\circ }$) − 3 hình quạt tâm $B,D,F$ (bị cung lõm cắt ra ngoài, cùng bán kính 2, góc $120^{\circ }$). Vì các hình quạt bằng nhau nên chúng triệt tiêu:
$$S=S_{lụcgi\acute{a}c}=6\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}=24\sqrt{3}\approx 41,569.$$

Làm tròn đến hàng phần mười: $S\approx 41,6$.