Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Khoảng cách từ $I(1;-1)$ đến $d:4x-3y+3=0$ là:
$$d(I,d)=\frac{\left|4.1-3.(-1)+3\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó ta được $IM\perp AB$ và $AM=\frac{AB}{2}=4$. Khi đó, áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $MIA$ vuông tại $M$, ta có:
$$I{A}^2=I{M}^2+M{A}^2=2^2+4^2=20\Rightarrow IA=\sqrt{20}$$
Vậy đường tròn tâm $I(1;-1)$ cắt $d$ tại $A$ và $B$ sao cho $AB=8$ có độ dài bán kính là $\sqrt{20}$. Do đó, đường tròn này có phương trình $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=20$.
Chọn đáp án D

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(0;60)$, $D(150;0)$, $C(150;60)$, $E(60;0)$. Đường tròn tâm $A$ bán kính $60$ cắt $AD$ tại $E$. Điểm $F$ là trung điểm $EC$: $F=\left(\frac{60+150}{2};\frac{0+60}{2}\right)=(105;30)$. Phần tô màu đen là hình giới hạn bởi cung $BE$ (cung phần tư đường tròn tâm $A$ nhô về phía $C$), đoạn $BF$ và đoạn $FE$ (thuộc $EC$); điểm $M$ nằm chính giữa cung $BE$ chỉ để xác định cung ranh giới. Tách diện tích: (1) tam giác $BFE$ với $B(0;60)$, $F(105;30)$, $E(60;0)$: $S=\frac{1}{2}\left|0(30-0)+105(0-60)+60(60-30)\right|=\frac{4500}{2}=2250$ m². (2) Hình quạt tròn giới hạn bởi dây $BE$ và cung $BE$: diện tích hình quạt $ABE$ (góc $90^{\circ }$) là $\frac{\pi \cdot 60^2}{4}=900\pi$, tam giác $ABE$ có diện tích $\frac{60\cdot 60}{2}=1800$, nên phần giữa dây $BE$ và cung $BE$ có diện tích $900\pi -1800$. Vậy diện tích phần trồng hoa: $S=2250+900\pi -1800=450+900\pi \approx 450+2827,433=3277,433\approx 3277$ m².

(AI giải đề cho tôi)
Góc nội tiếp $\hat{A}=15^{\circ }$ chắn cung $BC$, nên cung $BC$ (nhỏ) có số đo $30^{\circ }$. Độ dài dây $BC$ liên hệ bán kính $R$ bởi công thức $BC=2R\sin \frac{30^{\circ }}{2}=2R\sin 15^{\circ }$. Do đó $R=\frac{BC}{2\sin 15^{\circ }}=\frac{3,2}{2\cdot 0,2588}\approx 6,18\approx 6,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Góc $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$, nên cung $AC$ (cung lớn chứa góc ở tâm) có số đo $120^{\circ }$. Độ dài dây $AC=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}=3\Rightarrow R=\sqrt{3}$ (m). Chu vi hồ: $2\pi R=2\pi \sqrt{3}$, vậy $a=2,b=3$ (thỏa $1<b<8$), do đó $a+b=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn $x^2+y^2+6x-4y-23=0$ là $I\left(-\frac{6}{2};\frac{4}{2}\right)=(-3;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IM=\sqrt{(7-2{)}^2+(9+3{)}^2}=\sqrt{25+144}=13$. Phương trình đường tròn: $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=169$. Khớp đáp án C (đáp án nguồn: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IM=\sqrt{(5-1{)}^2+(1+2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$. Phương trình đường tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $5$ là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2+2x-6y+6=0$ có dạng $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=4$, tâm $I(-1;3)$, bán kính $R=2$. a) Đúng. b) $OI=\sqrt{(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{10}>2$ nên $O$ nằm ngoài đường tròn → Sai. c) $IM=\sqrt{(1+1{)}^2+(3-3{)}^2}=2=R$ nên $M$ thuộc $(C)$; vectơ $\overrightarrow{IM}=(2;0)$ nằm ngang nên tiếp tuyến tại $M$ là đường thẳng đứng $x=1$, không phải $x-y+2=0$ → Sai. d) Diện tích tam giác $IAB$: $S=\frac{1}{2}R\cdot AB$, lớn nhất khi $AB$ là đường kính $=2R=4$, khi đó $S_{max}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\ne 2$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(C):(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=4$ nên tâm $I(-1;3)$, $R=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$OI=\sqrt{10}>R=2$ nên $O$ nằm ngoài đường tròn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(1;3)$ thuộc $(C)$, $\overrightarrow{IM}=(2;0)$ nên tiếp tuyến tại $M$ là $x=1$, không phải $x-y+2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}R\cdot AB\le \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$, đạt max bằng 4 khi $AB$ là đường kính, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $d$ bằng khoảng cách từ tâm $I(2;-1)$ đến $d$: $R=\frac{|3\cdot 2-4\cdot (-1)+1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6+4+1|}{5}=\frac{11}{5}=2,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Để đèn chiếu sáng toàn bộ công viên với chi phí tiết kiệm nhất, vùng chiếu sáng phải là đường tròn nhỏ nhất chứa tam giác ABC, tức là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vậy đèn đặt tại tâm đường tròn ngoại tiếp $I$.

- Trung điểm của $BC$ là $(3;2,5)$, $BC$ thẳng đứng nên đường trung trực của $BC$ là $y=2,5$.
- Trung điểm của $AC$ là $(1,5;1)$, hệ số góc của $AC$ là $\frac{0-2}{3-0}=-\frac{2}{3}$, nên đường trung trực của $AC$ có hệ số góc $\frac{3}{2}$: $y-1=\frac{3}{2}(x-1,5)$.
- Thay $y=2,5$: $1,5=\frac{3}{2}(x-1,5)\Rightarrow x-1,5=1\Rightarrow x=2,5$.

Vậy $I(2,5;2,5)$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(2,5-0{)}^2+(2,5-2{)}^2=6,25+0,25=6,5$; $I{B}^2=(2,5-3{)}^2+(2,5-5{)}^2=0,25+6,25=6,5$; $I{C}^2=(2,5-3{)}^2+(2,5-0{)}^2=0,25+6,25=6,5$. Ba khoảng cách bằng nhau, xác nhận $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Bán kính: $R=\sqrt{6,5}\approx 2,5495$ đơn vị.

Vì 1 đơn vị trên hệ trục bằng 10 mét nên $R\approx 25,495$ m $\approx 25,5$ m.

Kết luận: đặt đèn tại $I(2,5;2,5)$, bán kính chiếu sáng nhỏ nhất khoảng $25,5$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+6y+1=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với tâm $I(a;b)$. Ta có $-2a=-2\Rightarrow a=1$ và $-2b=6\Rightarrow b=-3$. Vậy $I(1;-3)$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: bán kính $R=\sqrt{1+9-1}=3>0$, đường tròn xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm I là trung điểm AB: I(2;4). Bán kính R = AB/2 với AB = √((3-1)²+(5-3)²) = √8, nên R² = 2. Phương trình: (x-2)²+(y-4)²=2.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng được tưới là hình tròn tâm $I(30;40)$, bán kính $R=50$ m, tức tập hợp điểm $M$ thỏa $MI\le 50$. Kiểm tra điểm $A(60;81)$: $IA=\sqrt{(60-30{)}^2+(81-40{)}^2}=\sqrt{30^2+41^2}=\sqrt{900+1681}=\sqrt{2581}\approx 50,8$ m. Vì $\sqrt{2581}>50$ (do $2581>2500$), tức $IA>R$, nên điểm $(60;81)$ nằm ngoài vùng tròn bán kính 50 m. Kết luận: vòi phun KHÔNG thể phun nước tới địa điểm có tọa độ $(60;81)$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=25$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b)$, bán kính $R=\sqrt{25}=5$. So sánh: $a=4$, $-b=2\Rightarrow b=-2$, nên $I(4;-2)$ và $R=5$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với $a=-1$, $b=2$, $R^2=9\Rightarrow R=3$. Vậy tâm $I(-1;2)$, bán kính $R=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với tâm $I(1;-2)$ và $R=\sqrt{4}=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2-2x+4y+1=0$, ta có $a=-2$, $b=4$ nên tâm $I(-a/2;-b/2)=I(1;-2)$. Kiểm tra: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$, đúng là đường tròn tâm $(1;-2)$ bán kính 2.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ có tâm $I(a;b)$. Với $(C):x^2+y^2+4x+6y-12=0$, ta có $-2a=4\Rightarrow a=-2$ và $-2b=6\Rightarrow b=-3$. Vậy tâm $I(-2;-3)$. Kiểm tra: $R^2=a^2+b^2-c=4+9+12=25>0$, đường tròn xác định. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: Đường tròn (C) có tâm $I(1;2)$ và đường kính bằng 10 nên bán kính $R=10/2=5$. Phương trình đường tròn dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ với $(a;b)$ là tâm. Thay $I(1;2)$ và $R=5$ ta được: $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$. Kiểm tra: tâm $(1;2)$, bán kính $\sqrt{25}=5$, đường kính $2R=10$ thỏa mãn đề bài.