Có một công viên nhỏ hình tam giác. Người ta dự định đặt một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên, biết vùng chiếu sáng của đèn là một hình tròn. Người ta đo đạc và mô phỏng các kích thước công viên. Thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxy$, khi đó các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là $A(0;2)$, $B(3;5)$, $C(3;0)$.
Gọi $I$ là điểm đặt cây đèn sao cho đèn chiếu sáng toàn bộ công viên. Tìm tọa độ điểm $I$ và tính bán kính chiếu sáng (tính theo đơn vị mét) để chi phí tiết kiệm nhất? (làm tròn đến hàng phần chục, giả sử 1 đơn vị trên hệ trục bằng 10 mét).

(AI giải đề cho tôi)
Để đèn chiếu sáng toàn bộ công viên với chi phí tiết kiệm nhất, vùng chiếu sáng phải là đường tròn nhỏ nhất chứa tam giác ABC, tức là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vậy đèn đặt tại tâm đường tròn ngoại tiếp $I$.

- Trung điểm của $BC$ là $(3;2,5)$, $BC$ thẳng đứng nên đường trung trực của $BC$ là $y=2,5$.
- Trung điểm của $AC$ là $(1,5;1)$, hệ số góc của $AC$ là $\frac{0-2}{3-0}=-\frac{2}{3}$, nên đường trung trực của $AC$ có hệ số góc $\frac{3}{2}$: $y-1=\frac{3}{2}(x-1,5)$.
- Thay $y=2,5$: $1,5=\frac{3}{2}(x-1,5)\Rightarrow x-1,5=1\Rightarrow x=2,5$.

Vậy $I(2,5;2,5)$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(2,5-0{)}^2+(2,5-2{)}^2=6,25+0,25=6,5$; $I{B}^2=(2,5-3{)}^2+(2,5-5{)}^2=0,25+6,25=6,5$; $I{C}^2=(2,5-3{)}^2+(2,5-0{)}^2=0,25+6,25=6,5$. Ba khoảng cách bằng nhau, xác nhận $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Bán kính: $R=\sqrt{6,5}\approx 2,5495$ đơn vị.

Vì 1 đơn vị trên hệ trục bằng 10 mét nên $R\approx 25,495$ m $\approx 25,5$ m.

Kết luận: đặt đèn tại $I(2,5;2,5)$, bán kính chiếu sáng nhỏ nhất khoảng $25,5$ m.