Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đu quay $R=60$ m. Độ dài cung tròn $120^{\circ }$ là $l=\frac{120}{360}\cdot 2\pi R=\frac{1}{3}\cdot 120\pi =40\pi \approx 125,66$ m. Ghế cách nhau 4 m nên số khoảng 4m nhiều nhất trong cung là $\lfloor \frac{125,66}{4}\rfloor =31$ khoảng, do đó số ghế tối đa là $31+1=32$ ghế (ghế ở cả hai đầu mút của cung).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: đường đua gồm hai cạnh của hình chữ nhật rộng $2$ km và hai nửa đường tròn bán kính $1$ km. Gọi $O$ là tâm nửa đường tròn bên trái. Vì bán kính nửa đường tròn là $1$ km nên $O$ nằm trên đường nét đứt trái, cách mép trên và mép dưới của hình chữ nhật đúng $1$ km. Điểm $P$ cách mép dưới $\frac{1}{2}$ km (theo phương thẳng đứng) và cách đường nét đứt trái $2$ km (theo phương ngang). Chọn hệ trục tọa độ gốc $O$: khi đó $P$ có tọa độ $(-2;-1,5)$, nên $OP=\sqrt{2^2+1,5^2}=\sqrt{6,25}=2,5$ km. Điểm $Q$ trên đường đua gần $P$ nhất là giao điểm của tia $OP$ với nửa đường tròn trái (bán kính $1$ km), do đó $PQ=OP-R=2,5-1=1,5$ km. Kết quả khớp với đáp án nguồn: $1,5$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm nửa đường tròn bên trái, bán kính $r=1$ km (theo hình vẽ). Hình chữ nhật rộng $2$ km nên hai tâm nửa đường tròn cách nhau $2$ km. Chọn hệ tọa độ với $O(0;0)$, đường tròn trái: $x^2+y^2=1$. Theo hình vẽ, $P$ cách cạnh trái của hình chữ nhật $2$ km về phía trái và cách cạnh dưới $\frac{1}{2}$ km xuống dưới; vì cạnh dưới cách $O$ một khoảng $r=1$ km nên $P(-2;-1,5)$. Khi đó $OP=\sqrt{(-2{)}^2+(-1,5{)}^2}=\sqrt{6,25}=2,5$ km. Điểm $Q$ trên đường đua gần $P$ nhất nằm trên nửa đường tròn trái, là giao điểm của tia $PO$ với đường tròn (thuộc nửa đường tròn trái nên thỏa mãn), do đó $P{Q}_{\min }=OP-r=2,5-1=1,5$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất bằng $1,5$ km, trùng đáp án nguồn.

$A(3;0)$, $B(1;2)$, $d:2x+y=0$.

Gọi $I$ là tâm đường tròn $\Rightarrow I(x;-2x)$ vì $I\in d$.

$I{A}^2=I{B}^2\iff (3-x{)}^2+(2x{)}^2=(1-x{)}^2+(2+2x{)}^2\iff x=\frac{1}{3}\Rightarrow I\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$

Vậy tổng khoảng cách từ tâm $I$ đến các trục tọa độ bằng $\left|\frac{1}{3}\right|+\left|-\frac{2}{3}\right|=1$

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn: khoảng cách từ tâm lục giác đến mỗi cạnh (đường tròn nội tiếp) là $r=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ dm. Đỉnh mỗi parabol cách cạnh $3$ dm phía ngoài nên cách tâm $R=3+\sqrt{3}$ dm; sáu đỉnh này nằm trên đường tròn nên $R=3+\sqrt{3}$.

Diện tích hình tròn: $S_1=\pi (3+\sqrt{3}{)}^2=\pi (12+6\sqrt{3})\approx 70,34$ dm${}^2$.

Mỗi cánh hoa (hình parabol với dây cung dài $2$, chiều cao $3$) có diện tích $\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 3=4$ dm${}^2$. Diện tích hình hoa (lục giác đều cạnh 2 cộng 6 cánh hoa): $S_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2^2+6\cdot 4=6\sqrt{3}+24\approx 34,39$ dm${}^2$.

Diện tích phần tô màu: $S_1-S_2=\pi (12+6\sqrt{3})-24-6\sqrt{3}\approx 70,34-34,39\approx 35,95\approx 36$ dm${}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $A(-4;1),B(2;4),C(2;-2)$. Vì $B,C$ có cùng hoành độ nên $BC$ là đường thẳng đứng $x=2$, trung điểm $BC$ là $(2;1)$, đường trung trực của $BC$ là $y=1$. Trung điểm $AB$ là $(-1;\frac{5}{2})$, vectơ $\overrightarrow{AB}=(6;3)$ có hệ số góc $\frac{1}{2}$ nên đường trung trực của $AB$ có hệ số góc $-2$: $y-\frac{5}{2}=-2(x+1)\iff y=-2x+\frac{1}{2}$. Tâm ngoại tiếp $I$ là giao hai đường trung trực: $1=-2x+\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{1}{4}$, $y=1$. Vậy $x+y=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}=0,75$, khớp với đáp án nguồn.

Khoảng cách từ $I(1;-1)$ đến $d:4x-3y+3=0$ là:
$$d(I,d)=\frac{\left|4.1-3.(-1)+3\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{10}{5}=2$$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Khi đó ta được $IM\perp AB$ và $AM=\frac{AB}{2}=4$. Khi đó, áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $MIA$ vuông tại $M$, ta có:
$$I{A}^2=I{M}^2+M{A}^2=2^2+4^2=20\Rightarrow IA=\sqrt{20}$$
Vậy đường tròn tâm $I(1;-1)$ cắt $d$ tại $A$ và $B$ sao cho $AB=8$ có độ dài bán kính là $\sqrt{20}$. Do đó, đường tròn này có phương trình $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=20$.
Chọn đáp án D

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(0;60)$, $D(150;0)$, $C(150;60)$, $E(60;0)$. Đường tròn tâm $A$ bán kính $60$ cắt $AD$ tại $E$. Điểm $F$ là trung điểm $EC$: $F=\left(\frac{60+150}{2};\frac{0+60}{2}\right)=(105;30)$. Phần tô màu đen là hình giới hạn bởi cung $BE$ (cung phần tư đường tròn tâm $A$ nhô về phía $C$), đoạn $BF$ và đoạn $FE$ (thuộc $EC$); điểm $M$ nằm chính giữa cung $BE$ chỉ để xác định cung ranh giới. Tách diện tích: (1) tam giác $BFE$ với $B(0;60)$, $F(105;30)$, $E(60;0)$: $S=\frac{1}{2}\left|0(30-0)+105(0-60)+60(60-30)\right|=\frac{4500}{2}=2250$ m². (2) Hình quạt tròn giới hạn bởi dây $BE$ và cung $BE$: diện tích hình quạt $ABE$ (góc $90^{\circ }$) là $\frac{\pi \cdot 60^2}{4}=900\pi$, tam giác $ABE$ có diện tích $\frac{60\cdot 60}{2}=1800$, nên phần giữa dây $BE$ và cung $BE$ có diện tích $900\pi -1800$. Vậy diện tích phần trồng hoa: $S=2250+900\pi -1800=450+900\pi \approx 450+2827,433=3277,433\approx 3277$ m².

(AI giải đề cho tôi)
Góc nội tiếp $\hat{A}=15^{\circ }$ chắn cung $BC$, nên cung $BC$ (nhỏ) có số đo $30^{\circ }$. Độ dài dây $BC$ liên hệ bán kính $R$ bởi công thức $BC=2R\sin \frac{30^{\circ }}{2}=2R\sin 15^{\circ }$. Do đó $R=\frac{BC}{2\sin 15^{\circ }}=\frac{3,2}{2\cdot 0,2588}\approx 6,18\approx 6,2$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Góc $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$, nên cung $AC$ (cung lớn chứa góc ở tâm) có số đo $120^{\circ }$. Độ dài dây $AC=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}=3\Rightarrow R=\sqrt{3}$ (m). Chu vi hồ: $2\pi R=2\pi \sqrt{3}$, vậy $a=2,b=3$ (thỏa $1<b<8$), do đó $a+b=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Để đèn chiếu sáng toàn bộ công viên với chi phí tiết kiệm nhất, vùng chiếu sáng phải là đường tròn nhỏ nhất chứa tam giác ABC, tức là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vậy đèn đặt tại tâm đường tròn ngoại tiếp $I$.

- Trung điểm của $BC$ là $(3;2,5)$, $BC$ thẳng đứng nên đường trung trực của $BC$ là $y=2,5$.
- Trung điểm của $AC$ là $(1,5;1)$, hệ số góc của $AC$ là $\frac{0-2}{3-0}=-\frac{2}{3}$, nên đường trung trực của $AC$ có hệ số góc $\frac{3}{2}$: $y-1=\frac{3}{2}(x-1,5)$.
- Thay $y=2,5$: $1,5=\frac{3}{2}(x-1,5)\Rightarrow x-1,5=1\Rightarrow x=2,5$.

Vậy $I(2,5;2,5)$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(2,5-0{)}^2+(2,5-2{)}^2=6,25+0,25=6,5$; $I{B}^2=(2,5-3{)}^2+(2,5-5{)}^2=0,25+6,25=6,5$; $I{C}^2=(2,5-3{)}^2+(2,5-0{)}^2=0,25+6,25=6,5$. Ba khoảng cách bằng nhau, xác nhận $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Bán kính: $R=\sqrt{6,5}\approx 2,5495$ đơn vị.

Vì 1 đơn vị trên hệ trục bằng 10 mét nên $R\approx 25,495$ m $\approx 25,5$ m.

Kết luận: đặt đèn tại $I(2,5;2,5)$, bán kính chiếu sáng nhỏ nhất khoảng $25,5$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (cm) là đường kính nửa đường tròn, cũng là chiều rộng hình chữ nhật, và $h$ (cm) là chiều cao hình chữ nhật. Đường chéo hình chữ nhật: $x^2+h^2=66^2=4356$. Diện tích nửa đường tròn $S_1=\frac{\pi x^2}{8}$, diện tích hình chữ nhật $S_2=xh$. Theo đề $S_1=3S_2$: $\frac{\pi x^2}{8}=3xh\Rightarrow h=\frac{\pi x}{24}$. Thay vào phương trình đường chéo: $x^2+\frac{{\pi }^2{x}^2}{576}=4356\Rightarrow x^2=\frac{4356\cdot 576}{576+{\pi }^2}=\frac{2509056}{585,8596}\approx 4282,55$. Vậy $x=\sqrt{4282,55}\approx 65,4$ cm (kiểm tra: $h\approx 8,56$, $65,44^2+8,56^2\approx 4356$ đúng; $S_1\approx 1679$, $3S_2\approx 1681$ khớp).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19: Kiểm tra A(4;2) thuộc d: 3·4+4·2−20=0, đúng nên A là tiếp điểm.
a) Δ đi qua A và vuông góc với d nên VTPT của Δ là VTCP của d: (4;−3). Phương trình: 4(x−4)−3(y−2)=0 ⟺ 4x−3y−10=0.
b) Tâm I thuộc d' (2x+y=0) và vì (C) tiếp xúc với d tại A nên I thuộc đường thẳng Δ: 4x−3y−10=0. Thay y=−2x: 4x+6x−10=0 ⟹ x=1, y=−2. Vậy I(1;−2). Bán kính R=IA=√((4−1)²+(2+2)²)=√25=5. Phương trình đường tròn: (x−1)²+(y+2)²=25.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 20. Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$ có tâm $I(1;-1)$, bán kính $R=\sqrt{2}$. Đường thẳng $\Delta :x+y+2=0$.

a) Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$:
$$d(I,\Delta )=\frac{|1+(-1)+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=R.$$
Vì $d(I,\Delta )=R$ nên $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ (tiếp tuyến tại $H$, hình chiếu của $I$ lên $\Delta$).

b) $d\parallel \Delta$ nên $d$ có dạng $x+y+c=0$. Để $d$ tiếp xúc với $(C)$:
$$d(I,d)=\frac{|1-1+c|}{\sqrt{2}}=\frac{|c|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow |c|=2\Rightarrow c=\pm 2.$$
Với $c=2$ ta được chính $\Delta$ (đã cho). Vậy tiếp tuyến cần tìm (khác $\Delta$) là $x+y-2=0$.

Kiểm tra: $d(I,x+y-2=0)=\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=R$, đúng là tiếp tuyến của $(C)$, song song với $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ $I(1;-1)$ đến $d:x-y+2=0$: $R=\frac{|1-(-1)+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$, nên $R^2=8$. Phương trình: $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=8$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Góc nội tiếp $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ chắn cung $AC$, nên cung $AC$ có số đo $120^{\circ }$. Độ dài dây $AC=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}=3\Rightarrow R=\sqrt{3}\approx 1,732$ m. Chu vi hình tròn $C=2\pi R=2\cdot 3,14\cdot 1,732\approx 10,88\approx 11$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y+3=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4-3}=\sqrt{2}$.

Tiếp tuyến cắt $Ox$ tại $A(a;0)$, cắt $Oy$ tại $B(0;b)$ với $a\ne 0$, $b\ne 0$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ (do hai trục vuông góc), vuông cân khi $OA=OB$, tức $|a|=|b|$.

Phương trình tiếp tuyến dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Điều kiện tiếp tuyến: $d(I,\Delta )=R=\sqrt{2}$, tức $\frac{\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\sqrt{2}$, tương đương ${\left(b+2a-ab\right)}^2=2(a^2+b^2)$.

TH1: $b=a$. Khi đó $(3a-a^2{)}^2=4a^2\iff a^2(a-3{)}^2=4a^2\iff (a-3{)}^2=4\iff a=1$ hoặc $a=5$.
→ Hai tiếp tuyến: $x+y=1$ và $x+y=5$.

TH2: $b=-a$. Khi đó $(-a+2a+a^2{)}^2=4a^2\iff a^2(a+1{)}^2=4a^2\iff (a+1{)}^2=4\iff a=1$ hoặc $a=-3$.
→ Hai tiếp tuyến: $x-y=1$ và $x-y=-3$.

Kiểm tra: với $x+y=1$: $d=\frac{|1+2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x+y=5$: $d=\frac{|3-5|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x-y=1$: $d=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x-y=-3$: $d=\frac{|1-2+3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓.

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: $x+y-1=0$; $x+y-5=0$; $x-y-1=0$; $x-y+3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ với $b=3a-12$ (vì $I\in d$). Vì $(C)$ đi qua $A(7;-1)$ và $B(1;5)$ nên $IA=IB$, tức $I{A}^2=I{B}^2$: $(a-7{)}^2+(3a-11{)}^2=(a-1{)}^2+(3a-17{)}^2$. Khai triển: vế trái $=10a^2-80a+170$, vế phải $=10a^2-104a+290$. Suy ra $24a=120\Rightarrow a=5$, khi đó $I(5;3)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(5-7{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Vậy bán kính đường tròn là $2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trung trực AB: trung điểm $(5/2;1/2)$, AB có hệ số góc $1$ nên trung trực có hệ số góc $-1$: $y-1/2=-(x-5/2)⟹x+y=3$. Trung trực BC: trung điểm $(7/2;5/2)$, BC có hệ số góc $-1$ nên trung trực có hệ số góc $1$: $y-5/2=x-7/2⟹y=x-1$. Giải hệ: $x+x-1=3⟹x=2$, $y=1$. Vậy $H(2;1)$ nằm trong tam giác ABC, $a+b=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là $a,b$. Vì hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính 10 cm nên đường chéo của hình chữ nhật bằng đường kính: $a^2+b^2=100$. Chu vi: $a+b=14$, suy ra $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{196-100}{2}=48$. Diện tích hình tròn: $\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 78,54$ cm². Diện tích phần sơn: $25\pi -48\approx 78,54-48=30,54\approx 30,5$ cm². Khớp với đáp án nguồn 30.5 (Mã đề 104, Phần III Câu 2).