Cho đường tròn $(C)$, đường thẳng $\Delta$ có phương trình lần lượt là: $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$, $x+y+2=0$.
a) Chứng minh rằng $\Delta$ là một tiếp tuyến của đường tròn $(C)$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$, biết rằng $d$ song song với đường thẳng $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 20. Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$ có tâm $I(1;-1)$, bán kính $R=\sqrt{2}$. Đường thẳng $\Delta :x+y+2=0$.

a) Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$:
$$d(I,\Delta )=\frac{|1+(-1)+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=R.$$
Vì $d(I,\Delta )=R$ nên $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ (tiếp tuyến tại $H$, hình chiếu của $I$ lên $\Delta$).

b) $d\parallel \Delta$ nên $d$ có dạng $x+y+c=0$. Để $d$ tiếp xúc với $(C)$:
$$d(I,d)=\frac{|1-1+c|}{\sqrt{2}}=\frac{|c|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow |c|=2\Rightarrow c=\pm 2.$$
Với $c=2$ ta được chính $\Delta$ (đã cho). Vậy tiếp tuyến cần tìm (khác $\Delta$) là $x+y-2=0$.

Kiểm tra: $d(I,x+y-2=0)=\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=R$, đúng là tiếp tuyến của $(C)$, song song với $\Delta$.