Với hai số thực dương $a,b$ tùy ý và $\frac{{\log }_{3}7{\log }_{7}a}{1+{\log }_{3}2}-{\log }_{6}b=2$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}\left(-x^2+2x+24\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều (tham khảo hình vẽ) có hai cạnh đáy là $14m$ và $10m$. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng $135^{\circ }$. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hàm số $f(x)=e^x+{\tan }^{2}x$ có nguyên hàm là

Cho các số thực $x,y$ thay đổi, thỏa mãn $x>y>0$ và $\ln (x-y)+\frac{1}{2}\ln (xy)=\ln (x+y)$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=x+y$.

Cho hàm số $y=\frac{x^2+bx+c}{mx+n}$ (với $b,c,m,n\in \mathbb{R};m\ne 0$) có bảng biến thiên như sau:

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f2]

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $5^{\sqrt{y}}<5^{\sqrt{10-x}}$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, biết rằng $SC$ tạo với đáy một góc $30^{\circ }$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{DH}$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $C{C}^{\prime }$ thỏa mãn $IC=3.I{C}^{\prime }$, và $G$ là trọng tâm tứ diện $B{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x^3-3x^2+2\right)=m^2-3m$ có nghiệm thuộc đoạn $[1;3]$.

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

Đồ thị hàm số $y=f(x)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ qua điểm $I(0;1)$. Giá trị của biểu thức $f\left({\log }_a\frac{1}{2026}\right)$ bằng

Người ta quan sát một quần thể vi khuẩn đang tăng trưởng, ban đầu gồm 500 vi khuẩn. Sau một ngày và bốn ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn của quần thể đó tương ứng là 600 vi khuẩn, 1300 vi khuẩn. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$ ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, $0\le t\le 10$. Người ta ước tính tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó được mô tả bởi hàm số $P^{\prime }(t)=at+b\sqrt{t}$ (vi khuẩn/ngày), trong đó $a,b$ là hằng số. Hỏi số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày kể từ khi bắt đầu quan sát là bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2AB=2\sqrt{2}$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=4$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{SN}=y\overrightarrow{SC}$ và độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất. Giá trị của $5x+4y$ bằng

Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ với độ dài các cạnh bằng 5 m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm $M$ trên đoạn thẳng $A{D}_1$ xuống một điểm $N$ trên đoạn thẳng $BD$ thỏa mãn $AM=DN$. Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$, biết rằng $SA=a$, $AB=2a$, $AD=a\sqrt{2}$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$ và $SD$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(AHK)$ bằng $\frac{m\sqrt{n}a}{n}$ (với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), khi đó giá trị của $m-n$ là

Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Đầu tiên bạn vẽ một hình lục giác đều có cạnh bằng 2dm; sau đó trên mỗi cạnh của hình lục giác đều vẽ một cánh hoa hình parabol đi qua hai điểm đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác và cách cạnh tương ứng là 3dm; cuối cùng bạn vẽ đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol ở trên. Bạn Hoa tô màu phần nằm giữa hình tròn và các cánh hoa. Diện tích phần tô màu là bao nhiêu dm${}^2$?

Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo sản phẩm mới. Số tiền đầu tư quảng cáo là $A$ (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm: $q(A)=1000+\frac{1013}{3}\ln (1+A)$ (đơn vị: sản phẩm). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu tỉ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{a{x}^2+(b+1)x+a+3b}{x^2+3x+2}=5$, với $a,b\in \mathbb{R}$. Tính $P=4a+b$.

Nhà thầy Hùng cách bờ biển 1 km. Mỗi buổi sáng thầy chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển 500 m, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển 400 m, cách nhà thầy Hùng 1 km (tham khảo hình vẽ minh họa) và vận tốc chạy của thầy không thay đổi trong cả quá trình chạy.



Khi thời gian chạy của thầy Hùng ngắn nhất, quãng đường mà thầy Hùng đã chạy từ nhà ra đến bờ biển dài bao nhiêu km (làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$. Tính xác suất để chọn được số có dạng $\overline{abcdef}$ thỏa mãn $a+b=c+d=e+f$.

Bác An có một mảnh đất có hình tứ giác, khi đo đạc thì được số đo các cạnh lần lượt là $20m$, $7m$, $13m$, $4m$. Biết rằng trước đây, mảnh đất có hình tam giác vuông, nhưng do ở gần sông nên đã bị sạt lở mất một phần đất (tham khảo hình vẽ minh họa). Tính diện tích phần đất bác An hiện có.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x^2+26x+18}{x+13}$ có điểm cực tiểu $x=x_1$ và điểm cực đại bằng $x=x_2$. Tính $P=-2x_1+x_2$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;0;0)$, $B(0;3;1)$, $C(-3;6;4)$. Tìm điểm $M$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $MC=2MB$. Tìm độ dài đoạn $AM$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)\cdot \left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

Một bài thi tốt nghiệp THPT có phần 2 trắc nghiệm đúng, sai. Có 4 câu hỏi, mỗi câu có 4 ý a, b, c, d. Ở mỗi ý, thí sinh cần lựa chọn đúng hoặc sai. Điểm tối đa cho mỗi câu là 1,0 điểm. Thí sinh chọn chính xác 1 ý được 0,1 điểm; thí sinh chọn chính xác 2 ý được 0,25 điểm; thí sinh chọn chính xác 3 ý được 0,5 điểm; thí sinh chọn chính xác 4 ý được 1,0 điểm. Một thí sinh đã lựa chọn chính xác 2 ý của cả 4 câu. Hai ý còn lại của cả 4 câu đều khó đối với thí sinh đó, nên thí sinh đó chọn một cách ngẫu nhiên đúng hoặc sai. Xác suất để thí sinh này được đúng 2,0 điểm ở phần 2 này là $\frac{a}{b}$; $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tổng $a+b$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=3^{x^2}-9^x$ và $y=g(x)={\log }_2(x+30)-5$.

Cho hình chóp $S.OABC$ có đáy là $OABC$ là hình thang vuông tại $O$ và $A$; $SO$ vuông góc với mặt đáy; $AB=OA=\frac{1}{2}OC=SO=2$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $OC$, $SA$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]

Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Giả sử $A,B$ là 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị $(C)$ sao cho $AB$ song song với trục hoành. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một hộp chứa 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.

Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của tốc độ, khi tốc độ $v=10$ (km/giờ) thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $200m$, tốc độ của ô tô là $36km/h$. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t)=at+b$ $(a,b\in \mathbb{R},a>0)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau 24s đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong thời gian còn lại trên cao tốc.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;-1;2)$, $B(4;3;-2)$ và $C(5;-1;6)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thang $AB\parallel CD$, $AB=2CD$. Gọi $(P)$ là một mặt phẳng tùy ý không đi qua $S$ và cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q$ thỏa mãn $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SM}$, $\overrightarrow{SC}=5\overrightarrow{SP}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2{\left(\frac{SB}{SN}\right)}^2+{\left(\frac{SD}{SQ}\right)}^2$.

Trong một trò chơi, bạn Việt có 9 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 9, bạn Nam có 8 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 8, mỗi bạn chọn ra ba tấm bìa rồi sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để được một số gồm ba chữ số. Người thắng cuộc là người có số lớn hơn. Tính xác suất để Việt thắng Nam (Kết quả là tròn đến hàng phần trăm).

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5km về phía nam và 1,5km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3km về phía bắc và 2,5km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40m. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a$ km theo hướng bắc và $b$ km theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Một nguồn âm đẳng hướng phát ra từ điểm $O$. Mức cường độ âm tại điểm $M$ cách điểm $O$ một khoảng $R(R>0)$ được tính bởi công thức $L_M=\log \frac{k}{R^2}$ (Ben), với $k>0$ là hằng số. Biết điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AB$ và mức cường độ âm tại $A$ và $B$ lần lượt là $L_A=4,3$ (Ben) và $L_B=5$ (Ben). Mức cường độ âm tại trung điểm của $AB$ bằng bao nhiêu Ben (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 8 cm, chiều cao trong lòng cốc là 14 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc bằng bao nhiêu cm${}^3$, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x>\frac{y}{3}>0$ và $3x+y+3xy\ge 7$. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=9x^2+\frac{1}{4}(3x+5y{)}^2-2\ln \left(1+30xy-5y^2\right)$ bằng $a-\ln b$ với $a,b$ là các số tự nhiên. Tính giá trị $a-b$.