Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(a;0;0)$, $C=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A^{\prime }=(0;0;2a)$, $B^{\prime }=(a;0;2a)$, $C^{\prime }=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};2a\right)$. Khi đó $M=\left(\frac{a}{2};0;2a\right)$, $N=\left(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};2a\right)$, $P=\left(\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$.

a) $\overrightarrow{NP}=\left(\frac{a}{2};0;-2a\right)$, phần chiếu ngang dài $\frac{a}{2}$, độ cao $2a$, nên $\tan \alpha =\frac{2a}{a/2}=4\ne \frac{1}{4}$. Sai.

b) $B{B}^{\prime }$ có vtcp $\vec{u}=(0;0;1)$ qua $B=(a;0;0)$; $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có vtcp $\vec{v}=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$ qua $A^{\prime }$. $\vec{u}\times \vec{v}=\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=a$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(a;0;-2a)$. Khoảng cách $=\frac{|\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne a$. Sai.

c) $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};-2a\right)$, pháp tuyến $(MNP)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\propto (-4\sqrt{3};-4;-\sqrt{3})$, $|\vec{n}|=\sqrt{67}$. $\cos ((ABC),(MNP))=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}=\frac{\sqrt{201}}{67}$. Đúng.

d) $V_{AC{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\det (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{A{B}^{\prime }})\right|$. $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(0;2a^2;0)$, $\overrightarrow{AC}\cdot (0;2a^2;0)=\sqrt{3}{a}^3$, nên $V=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{NP}=\left(\frac{a}{2};0;-2a\right)$ nên $\tan \alpha =\frac{2a}{a/2}=4\ne \frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(MNP)$ tỉ lệ $(-4\sqrt{3};-4;-\sqrt{3})$ với độ dài $\sqrt{67}$, nên $\cos =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}=\frac{\sqrt{201}}{67}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V_{AC{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{6}|\det (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{A{B}^{\prime }})|=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$.