Cho hàm số $y=f(x)=3^{x^2}-9^x$ và $y=g(x)={\log }_2(x+30)-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3^{x^2}-9^x=3^{x^2}-3^{2x}$ và $g(x)={\log }_2(x+30)-5$.

a) $f(x)\ge 0\iff x^2\ge 2x\iff x(x-2)\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Vì $f(0)=f(2)=0$ nên tập nghiệm là $(-\infty ;0]\cup [2;+\infty )$, không phải $(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$. → Sai.

b) Dấu: $f(x)\ge 0$ khi $x\le 0$ hoặc $x\ge 2$; $f(x)<0$ khi $0<x<2$. $g(x)\le 0\iff x+30\le 32\iff x\le 2$ (kết hợp điều kiện $x>-30$); $g(x)>0$ khi $x>2$.
Tích $f(x)g(x)\le 0$ khi hai dấu trái nhau hoặc một yếu tố bằng 0:
- Với $-30<x\le 0$: $f\ge 0$, $g<0$ (vì $x+30<32$ khi $x<2$, tại $x\le 0$ thì $g<0$) → tích $\le 0$: các số nguyên $x\in \{-29,-28,\dots ,0\}$, tức 30 số.
- Với $0<x<2$: $f<0$, $g<0$ → tích $>0$, loại (không có số nguyên nào ngoài $x=1$, bị loại).
- $x=2$: $f(2)=0$, $g(2)=0$ → tích $=0$, thỏa mãn.
- $x>2$: $f>0$, $g>0$ → tích $>0$, loại.
Vậy có tất cả $30+1=31$ số nguyên, không phải 30. → Sai.

c) Tập xác định của $g(x)$: $x+30>0\iff x>-30$, tức $(-30;+\infty )$, không phải $[-30;+\infty )$. → Sai.

d) $g(x)\le 0\iff {\log }_2(x+30)\le 5\iff 0<x+30\le 32\iff -30<x\le 2$. Tập nghiệm $(-30;2]$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm đúng là $(-\infty ;0]\cup [2;+\infty )$ vì $f(0)=f(2)=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{-29,\dots ,0\}\cup \{2\}$, tổng cộng 31 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+30>0$ nên tập xác định là $(-30;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)\le 0\iff -30<x\le 2$, tập nghiệm $(-30;2]$.