Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Giả sử $A,B$ là 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị $(C)$ sao cho $AB$ song song với trục hoành. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}=x-\frac{6}{x+1}$, tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x-1$. Đặt $t=x+1\ne 0$, điểm trên $(C)$ là $(t-1,t-1-\frac{6}{t})$.

a) Với $x$ nguyên thì $y$ nguyên khi $\frac{6}{x+1}$ nguyên, tức $x+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$, cho $x\in \{0,-2,1,-3,2,-4,5,-7\}$: đúng 8 điểm. Mệnh đề đúng.

b) $AB$ song song trục hoành nghĩa là hai điểm có cùng tung độ $y=c$. Phương trình $t-1-\frac{6}{t}=c\iff t^2-(c+1)t-6=0$ có hai nghiệm trái dấu $t_1{t}_2=-6$ (tương ứng 2 nhánh). Khi đó $AB=t_2-t_1=\sqrt{(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2}=\sqrt{(c+1{)}^2+24}\ge \sqrt{24}=2\sqrt{6}$, đạt được khi $c=-1$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt{6}$, không phải $2\sqrt{5}$. Mệnh đề sai.

c) $y^{\prime }=1+\frac{6}{(x+1{)}^2}=7\iff (x+1{)}^2=6$ có 2 nghiệm phân biệt, nên có 2 tiếp tuyến song song với $d$. Mệnh đề đúng.

d) Khoảng cách bình phương từ điểm trên $(C)$ tới tâm $(-1,-1)$: $f(t)=t^2+{\left(t-\frac{6}{t}\right)}^2=2t^2+\frac{36}{t^2}-12\ge 2\sqrt{72}-12=12(\sqrt{2}-1)$, đạt khi $t^4=18$. Vì $f(t)\to +\infty$ khi $t\to 0^{\pm }$ hoặc $|t|\to \infty$, phương trình $f(t)=R^2$ có 4 nghiệm phân biệt (2 trên mỗi nhánh) khi và chỉ khi $R^2>12(\sqrt{2}-1)$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y$ nguyên khi $6/(x+1)$ nguyên: $x+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$ cho đúng 8 điểm $x\in \{0,-2,1,-3,2,-4,5,-7\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với cùng tung độ $c$, $AB=\sqrt{(c+1{)}^2+24}\ge 2\sqrt{6}$. Giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt{6}$, không phải $2\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1+\frac{6}{(x+1{)}^2}=7\iff (x+1{)}^2=6$ có 2 nghiệm, nên có 2 tiếp tuyến song song $d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(t)=2t^2+\frac{36}{t^2}-12\ge 12(\sqrt{2}-1)$; phương trình $f(t)=R^2$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $R^2>12(\sqrt{2}-1)$.