Cho $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{a{x}^2+(b+1)x+a+3b}{x^2+3x+2}=5$, với $a,b\in \mathbb{R}$. Tính $P=4a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -1$, mẫu số $x^2+3x+2\to 0$ nên để giới hạn tồn tại (bằng 5), tử số phải triệt tiêu tại $x=-1$: $a-(b+1)+a+3b=0\iff 2a+2b-1=0\iff a+b=\frac{1}{2}$. Khi đó giới hạn là giới hạn dạng $\frac{0}{0}$, tính bằng đạo hàm của tử số tại $x=-1$ (mẫu có đạo hàm $2x+3=1$ tại $x=-1$): $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2ax+(b+1)}{2x+3}=-2a+b+1=5\iff b-2a=4$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}a+b=\frac{1}{2}\\ b-2a=4\end{array}$ ta được $b=4+2a$, suy ra $3a+4=\frac{1}{2}\Rightarrow a=-\frac{7}{6}$, $b=\frac{5}{3}$. Vậy $P=4a+b=4\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{5}{3}=-\frac{14}{3}+\frac{5}{3}=-3$. Đáp án B.