Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 8 cm, chiều cao trong lòng cốc là 14 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc bằng bao nhiêu cm${}^3$, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Khi nghiêng cốc, mặt nước là mặt phẳng đi qua một đường kính đáy và chạm miệng cốc tại một điểm trên vành. Chọn hệ trục: đáy là hình tròn bán kính $r=8$ trong mặt phẳng $Oxy$, trục $Oz$ dọc trục cốc, chiều cao $h=14$. Mặt phẳng nước đi qua đường kính đáy (trục $Oy$) và điểm miệng cốc $(r,0,h)$, nên có phương trình $z=\frac{h}{r}x$. Thể tích nước là phần trong trụ với $x\ge 0$, $0\le z\le \frac{h}{r}x$:
$$V={\iint }_{x\ge 0}\frac{h}{r}xdA=\frac{h}{r}{\int }_0^{r}x\cdot 2\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{h}{r}\cdot \frac{2r^3}{3}=\frac{2r^{2}h}{3}.$$
Thay $r=8$, $h=14$: $V=\frac{2\cdot 64\cdot 14}{3}=\frac{1792}{3}\approx 597,33$ cm${}^3$.
Làm tròn đến hàng đơn vị: $V\approx 597$ cm${}^3$.