Giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+\sqrt{2x+\sqrt{3x+\dots +\sqrt{2025x}}}}-\sqrt{x}\right)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $R_k=\sqrt{kx+R_{k+1}}$ với $R_{2025}=\sqrt{2025x}$, cần tính ${\lim }_{x\to +\infty }(R_1-\sqrt{x})$. Khi $x\to +\infty$, do $R_{k+1}=O(\sqrt{x})$ nên $\frac{R_{k+1}}{kx}\to 0$, do đó khai triển $$R_k=\sqrt{kx}\sqrt{1+\frac{R_{k+1}}{kx}}=\sqrt{kx}+\frac{R_{k+1}}{2\sqrt{kx}}+o(1).$$ Vì $R_{k+1}\sim \sqrt{(k+1)x}$ nên $\frac{R_{k+1}}{2\sqrt{kx}}\to \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k+1}{k}}$, suy ra $R_k=\sqrt{kx}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k+1}{k}}+o(1)$. Áp dụng với $k=1$: $R_1=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}+o(1)$, vậy ${\lim }_{x\to +\infty }(R_1-\sqrt{x})=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn. Đáp án C.