Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(5;-3;2)$, $B(2;1;-2)$. Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt thay đổi thoả mãn $BM=BN=2$ và $A,M,N$ thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2.AM+5.AN$ có dạng $7\sqrt{m}-n$ với $m,n$ là số tự nhiên. Tính giá trị $5m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
AB = √((5−2)²+(−3−1)²+(2+2)²) = √41 > 2. Vì A, M, N thẳng hàng, M, N là hai giao điểm phân biệt của một đường thẳng đi qua A với mặt cầu (B; 2). Gọi d là khoảng cách từ B đến đường thẳng đó (0 ≤ d < 2), H là chân đường vuông góc từ B xuống đường thẳng. Khi đó AH = √(41 − d²) = a, và M, N cách A các khoảng a − h và a + h với h = √(4 − d²) (nửa dây). Để S = 2·AM + 5·AN nhỏ nhất, gán khoảng cách lớn hơn cho hệ số 2: S = 2(a + h) + 5(a − h) = 7a − 3h = 7√(41 − d²) − 3√(4 − d²). Đạo hàm theo d: S' = d(−7/√(41−d²) + 3/√(4−d²)) > 0 vì 3/√(4−d²) > 7/√(41−d²) trên [0;2) (kiểm tra: phương trình 9(41−d²)=49(4−d²) vô nghiệm). Vậy S tăng theo d, nhỏ nhất tại d = 0, tức đường thẳng qua A và B: S_min = 7√41 − 6 (khi M cách A đoạn √41 + 2, N cách A đoạn √41 − 2, cả hai đều cách B đúng 2 và M ≠ N). Vậy m = 41, n = 6, 5m + n = 205 + 6 = 211.