Cho các số thực $x,y$ thay đổi, thỏa mãn $x>y>0$ và $\ln (x-y)+\frac{1}{2}\ln (xy)=\ln (x+y)$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=x+y$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện $\ln (x-y)+\frac{1}{2}\ln (xy)=\ln (x+y)$, với $x>y>0$ ta suy ra $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$. Đặt $t=\frac{x}{y}>1$, khi đó $x=ty$ và phương trình trở thành $(t-1)\sqrt{t}{y}^2=(t+1)y$, suy ra $y=\frac{t+1}{(t-1)\sqrt{t}}$. Do đó $M=x+y=y(t+1)=\frac{(t+1{)}^2}{(t-1)\sqrt{t}}$. Đặt $u=\sqrt{t}>1$: $M=\frac{(u^2+1{)}^2}{u(u^2-1)}$. Đạo hàm $M^{\prime }=0$ dẫn đến $u^4-6u^2+1=0$, cho $u^2=3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2}{)}^2$, tức $u=1+\sqrt{2}$. Khi đó $M_{\min }=\frac{(u^2+1{)}^2}{u(u^2-1)}=\frac{8(3+2\sqrt{2})}{2(3+2\sqrt{2})}=4$. Kiểm tra: với $u=1+\sqrt{2}$ thì $t=3+2\sqrt{2}$, $y=2-\sqrt{2}$, $x=2+\sqrt{2}$, thỏa $x>y>0$ và $(x-y)\sqrt{xy}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4=x+y$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $4$, chọn đáp án C.