Cho hình chóp $S.ABC$ có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của đoạn $SG$. Biết $\overrightarrow{SM}=x\overrightarrow{SA}+y\overrightarrow{SB}+z\overrightarrow{SC}$. Tính $T=x+2y+6z$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(-1;0;1),B(1;1;-1),C(5;0;-2)$. Tìm tọa độ điểm $H$ sao cho tứ giác $ABCH$ theo thứ tự đó lập thành hình thang cân với hai đáy $AB,CH$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(2;-1;-3)$. Tìm tọa độ của điểm $M^{\prime }$ đối xứng với điểm $M$ qua trục $Oy$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với: $\overrightarrow{AB}=(1;-2;2)$; $\overrightarrow{AC}=(3;-4;6)$. Độ dài đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ là:

Thống kê điểm trung bình cuối học kì 1 môn Toán của một số học sinh lớp 12A được cho ở bảng sau:

Số trung vị (làm tròn đến hàng phần trăm) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Một lớp học có 30 học sinh, được chia thành 3 nhóm với các điểm số trung bình và phương sai của từng nhóm như sau:
- Nhóm 1: $n_1=10$, điểm trung bình $\overline{X_1}=7,0$, phương sai $S_1^2=1,2$.
- Nhóm 2: $n_2=10$, điểm trung bình $\overline{X_2}=6,8$, phương sai $S_2^2=1,0$.
- Nhóm 3: $n_3=10$, điểm trung bình $\overline{X_3}=7,2$, phương sai $S_3^2=1,4$.
Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm $S_{\text{gheˊp}}^2$ cho cả lớp (làm tròn đến hàng phần chục).

Phương trình $2\cos x-\sqrt{2}=0$ có tất cả các nghiệm là

Tính giá trị của biểu thức $A=\sin 3x.\cos x+\cos 5x.\sin x$, biết $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cho $a={\log }_{2}5$; $b={\log }_{2}9$. Biểu diễn của $P={\log }_2\frac{40}{3}$ theo $a$ và $b$ là.

Phương trình $\frac{1}{5-{\log }_{2}x}+\frac{2}{1+{\log }_{2}x}=1$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ thì $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ là

Ba số phân biệt có tổng là 434 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 1480?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có các số hạng đều dương, số hạng đầu $u_1=1$ và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950. Tính tổng

$$S=\frac{1}{u_2\sqrt{u_1}+u_1\sqrt{u_2}}+\frac{1}{u_3\sqrt{u_2}+u_2\sqrt{u_3}}+\dots +\frac{1}{u_{2025}\sqrt{u_{2024}}+u_{2024}\sqrt{u_{2025}}}=\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{b}}\right).$$ Khi đó $a+b$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với hai đáy $AB$ và $CD$, biết $AB=2a$; $AD=CD=CB=a$; $\widehat{SAD}=\widehat{SBD}=90^{\circ }$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAD)$; $(SBD)$ bằng $\alpha$ sao cho $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ là

Giá trị của tổng $T=C_5^0+2C_5^1+2^2{C}_5^2+2^3{C}_5^3+2^4{C}_5^4+2^5{C}_5^5$ bằng

Trong một đề thi trắc nghiệm môn Toán có loại câu hỏi trả lời dạng đúng sai. Một câu hỏi có 4 ý hỏi, mỗi ý hỏi học sinh chỉ cần trả lời đúng hoặc chỉ trả lời sai. Nếu 1 ý trả lời đúng đáp án thì được 0,1 điểm, đúng 2 ý được 0,25 điểm, đúng 3 ý được 0,5 điểm và đúng cả 4 ý được 1 điểm. Giả sử một thí sinh làm bài bằng cách chọn phương án ngẫu nhiên để trả lời cho 2 câu hỏi loại đúng sai này. Hỏi có bao nhiêu cách chọn phương án để học sinh đó được 1 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi này.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(-2;0;-3),B(-4;-4;1),C(-4;1;-1)$.

Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)={\log }_{2025}\left(4-x^2\right)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a;AD=2a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$, $H$ là trung điểm cạnh $AB$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Gieo hai con xúc sắc $I$ và $II$ cân đối, đồng chất một cách độc lập. Xét các biến cố $A,B,C$ sau đây:
$A$: "Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm"
$B$: "Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con là 7"
$C$: "Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con lớn hơn hoặc bằng 8"

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(1)+f(3)=2f(-1)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}(C)$ và đường thẳng $d:y=\left(1-\sqrt{2}\right)x+\sqrt{2}-1$. $A,B,C,D$ là các điểm thuộc đồ thị hàm số $(C)$ có hoành độ lần lượt là $-2;-1;2;3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T=MA+MB+NC+ND$ với $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng $d$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm $M$ trong không gian $Oxyz$ như hình bên. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ xuống mặt phẳng $(Oxy)$. Cho biết $OM=50$, $\left(\vec{i};\overrightarrow{OH}\right)=64^{\circ }$, $\left(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM}\right)=48^{\circ }$. Tìm tọa độ của điểm $M\left(a;b;c\right)$. Khi đó $a+b+c$ là (làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hai số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn đồng thời $x^2+y^2\ge 16$, ${\log }_{x^2+2y^2+1}\left(y^2+8x+1\right)\ge 1$. Biết rằng có duy nhất một cặp số nguyên không âm $(x,y)$ thỏa mãn $mx+y-1+m=0$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ thỏa mãn bài toán?

Một hành lang giữa hai tòa nhà có hình dạng của một hình lăng trụ đứng. Hai mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hai tấm kính hình chữ nhật dài $20\mathrm{m}$, rộng $5\mathrm{m}$. Gọi $x$ (mét) là độ dài cạnh $BC$. Tìm $x$ sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất (làm tròn đến hàng phần trăm).

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f2]

Trung tâm y tế dự phòng của huyện $A$ có 3 bác sĩ, 4 kĩ thuật viên và 12 y tá. Để đảm bảo công tác phòng chống dịch Covid-19, lãnh đạo cấp trên yêu cầu trung tâm $A$ phải đảm bảo trong một ngày có 3 ca trực sao cho ca 1 có 7 người và hai ca còn lại mỗi ca có 6 người. Biết là số cách phân chia sao cho mỗi ca có một bác sĩ và ít nhất một kĩ thuật viên là $\overline{abcdefg}$, tính $a+b+c+d+e+f+g$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$. $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$, $N$ là điểm sao cho $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}.\left(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}\right)$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $CN$ và $A^{\prime }M$ bằng $\frac{a\sqrt{21}}{7}$. Thể tích của lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $x.a^3$ $(x\in \mathbb{R})$. Khi đó $x$ có giá trị bằng bao nhiêu? (làm tròn sau dấu phẩy hai chữ số)