Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}(C)$ và đường thẳng $d:y=\left(1-\sqrt{2}\right)x+\sqrt{2}-1$. $A,B,C,D$ là các điểm thuộc đồ thị hàm số $(C)$ có hoành độ lần lượt là $-2;-1;2;3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T=MA+MB+NC+ND$ với $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng $d$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp số: 12,7.



Xét hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}(C)$ có tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-1$ nên đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho có dạng:

$$\frac{x-y-1}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\pm \frac{x-1}{\sqrt{1^2}}\iff \left[\begin{array}{c}x-y-1=\sqrt{2}.(x-1)\\ x-y-1=-\sqrt{2}.(x-1)\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}y=\left(1-\sqrt{2}\right)x+\sqrt{2}-1\\ y=\left(1+\sqrt{2}\right)x-\sqrt{2}-1\end{array}\right]$$

Do đó hai đường thẳng $d,d^{\prime }$ chính là hai trục đối xứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}(C)$

Ta có: $A\left(-2;\frac{-10}{3}\right);B\left(-1;\frac{-5}{2}\right);C(2;2);D\left(3;\frac{5}{2}\right)$ suy ra hai điểm $A,B$ cùng thuộc 1 nhánh của đồ thị hàm số (nhánh có điều kiện $x<1$) và hai điểm $C,D$ cùng thuộc 1 nhánh của đồ thị hàm số (nhánh có điều kiện $x>1$)

Khi đó, gọi $B^{\prime },D^{\prime }$ là các điểm đối xứng với $B,D$ qua đường thẳng $d$

Ta có đường thẳng $B{B}^{\prime }$ và đường thẳng $D{D}^{\prime }$ đều có hệ số góc là: $k=\frac{-1}{1-\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$.

Phương trình đường thẳng $B{B}^{\prime }$: $y=\left(\sqrt{2}+1\right).\left(x+1\right)-\frac{5}{2}=\left(\sqrt{2}+1\right)x+\sqrt{2}-\frac{3}{2}$

Phương trình đường thẳng $D{D}^{\prime }$: $y=\left(\sqrt{2}+1\right).\left(x-3\right)+\frac{5}{2}=\left(\sqrt{2}+1\right)x-3\sqrt{2}-\frac{1}{2}$

Gọi $I,J$ là giao điểm của đường thẳng $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ với đường thẳng $d$ thì $I\left(\frac{\sqrt{2}}{8};\frac{9\sqrt{2}-10}{8}\right)$ và $J\left(\frac{16-\sqrt{2}}{8};\frac{10-9\sqrt{2}}{8}\right)$

Khi đó $B^{\prime }\left(\frac{4+\sqrt{2}}{4};\frac{9\sqrt{2}}{4}\right)$ và $D^{\prime }\left(\frac{4-\sqrt{2}}{4};\frac{-9\sqrt{2}}{4}\right)$.

Ta có: $T=MA+MB+NC+ND=MA+M{B}^{\prime }+NC+N{D}^{\prime }\ge A{B}^{\prime }+C{D}^{\prime }\approx 12,1$.