Ba số phân biệt có tổng là 434 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 1480?

Chọn A

Gọi ba số đó là $x$, $y$, $z$. Do ba số là các số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của một cấp số cộng nên ta có: $x=u_3$; $y=u_{10}=x+7d$; $z=u_{45}=x+42d$.

Theo giả thiết, ta có: $x+y+z=x+x+7d+x+42d=3x+49d=434$.

Mặt khác, do $x$, $y$, $z$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:

$$y^2=xz\iff (x+7d{)}^2=x(x+42d)\iff d(-4x+7d)=0\iff [<table><tbody><tr><td>d=0</td></tr><tr><td>-4x+7d=0</td></tr></tbody></table>$$

Với $d=0$, ta có: $x=y=z=\frac{434}{3}$. Suy ra $n=1480:\frac{434}{3}=\frac{2220}{217}\notin \mathbb{N}$.

Với $-4x+7d=0$, ta có: $\{<table><tbody><tr><td>-4x+7d=0</td></tr><tr><td>3x+49d=434</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>x=14</td></tr><tr><td>d=8</td></tr></tbody></table>$. Suy ra $u_1=u_3-2d=14-2.8=-2$.

Do đó, $S_n=1480\iff \frac{\left[2u_1+(n-1)d\right]n}{2}=1480\iff \frac{\left[2.(-2)+8(n-1)\right]n}{2}=1480\iff [<table><tbody><tr><td>n=20</td></tr><tr><td>n=-\frac{37}{2}</td></tr></tbody></table>$

Vậy $n=20$.