Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ($a=5$, $b=4$). Hình chữ nhật nội tiếp có đỉnh $(x,y)$ trên elip, diện tích $S_1=4xy$; diện tích trồng hoa $S_2=40\pi -4xy$. Tổng chi phí (triệu đồng): $P=0,8\cdot 4xy+0,9(40\pi -4xy)=36\pi -0,4xy$. Để $P$ nhỏ nhất cần $xy$ lớn nhất. Với $y=4\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}$, hàm $f(x)=x\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}$ đạt max tại $x=\frac{5}{\sqrt{2}}$, khi đó $y=\frac{4}{\sqrt{2}}$, $xy=10$. Vậy $P_{\min }=36\pi -0,4\cdot 10=36\pi -4\approx 109,1$ triệu đồng, làm tròn thành $109$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại trung điểm $CD$ trên mặt đất. Khi đó $A(-4;4)$, $B(4;4)$, đỉnh parabol $I(0;h)$ với $h$ là chiều cao cần tìm. Parabol có dạng $y=h-k{x}^2$. Vì parabol đi qua $B(4;4)$ nên $4=h-16k\Rightarrow k=\frac{h-4}{16}$. Xe container rộng $6m$ nên hai mép thùng xe tại $x=\pm 3$; để xe đi qua được, chiều cao cổng tại $x=3$ phải ít nhất bằng $5,4m$: $h-9k\ge 5,4\Rightarrow h-\frac{9(h-4)}{16}\ge 5,4\Rightarrow \frac{7h+36}{16}\ge 5,4\Rightarrow 7h+36\ge 86,4\Rightarrow h\ge 7,2$. Vậy đỉnh $I$ cách mặt đất tối thiểu $7,2m$.

(AI giải đề cho tôi)
Cổng rộng $d=6m$ nên chân hai bên cổng có hoành độ $x=\pm 3$. Chiều cao cổng là khoảng cách từ đỉnh parabol $(0;0)$ xuống mặt đất: $h=0-f(3)=\frac{1}{2}\cdot 3^2=4,5m$. Vậy $h=4,5m$, khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc tại tâm sân, trục Ox song song với chiều dài 14 m. Khi đó (P1): y = ax² + c đi qua hai đỉnh (±7; 6) của sân nên 6 = 49a + c, tức c = 6 − 49a (a > 0, c < 0, parabol có đỉnh dưới tâm sân); (P2): y = −ax² − c đối xứng với (P1) qua tâm. Đường tròn (C): x² + y² = r². Thay phương trình (P1) vào đường tròn: x² + (ax² + c)² = r², đặt t = x² ≥ 0: (1 + a²)t² + 2act + (c² − r²) = 0. Để đường tròn và parabol có duy nhất một điểm chung (tiếp xúc), phương trình phải có nghiệm kép: Δ' = 0 ⇔ a²c² = (1 + a²)(c² − r²) ⇔ r² = c²/(1 + a²). Vì hình tròn nằm trong sân có chiều rộng 12 m nên r ≤ 6, do đó diện tích lớn nhất khi r = 6 (đường tròn tiếp xúc hai cạnh ngắn của sân). Khi đó (49a − 6)² = 36(1 + a²) ⇔ 2365a² − 588a = 0 ⇔ a = 588/2365 ≈ 0,2486 (> 6/49, thỏa mãn), khi đó hai parabol vẫn cắt nhau và đường tròn tiếp xúc duy nhất mỗi parabol tại một điểm. Diện tích phần lát gạch: S = π·6² = 36π (m²). Chi phí: 36π · 240 000 = 8 640 000π ≈ 27 143 361 đồng ≈ 27,1 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Elip phủ bì có 2a=660, 2b=380 mm nên a=330, b=190. Elip lót lòng ít hơn 40 mm mỗi trục: a=310, b=170 (mm). Bồn là nửa khối tròn xoay tạo bởi nửa elip quay quanh trục lớn, thể tích chứa nước bằng nửa thể tích khối elip xoay: V = (1/2)·(4/3)πab² = (2/3)π·310·170² = (2/3)π·310·28900 ≈ 18 763 000 mm³ ≈ 18,76 lít ≈ 18,8 lít. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng (Oxy) với MA + MB = 10 > AB = 8, nên M nằm trên elip tâm O với A(4;0), B(-4;0) là hai tiêu điểm: a = 5, c = 4, b² = a² - c² = 9, tức x²/25 + y²/9 = 1. Với M(x;y;0), ta có MC² = x² + (y-6)² + 1. Cần tìm điểm trên elip gần C'(0;6) nhất trong mặt phẳng Oxy. Khoảng cách từ C' đến elip nhỏ nhất đạt tại đỉnh (0;3) (điểm trên cùng của elip), khoảng cách bằng 6 - 3 = 3. Thật vậy, với điểm (x;y) trên elip, x² = 25(1 - y²/9), nên MC² = 25 - 25y²/9 + y² - 12y + 36 + 1 = 62 - 12y - 16y²/9, hàm nghịch biến theo y trên [-3;3], nhỏ nhất tại y = 3: MC² = 62 - 36 - 16 = 10. Vậy MC_min = √10 ≈ 3,16, khớp với đáp án nguồn.

Câu 3 [Hình cần kiểm tra lại: p11_f2]
Giả sử cổng $(P):y=a{x}^2+bx+c$ nhận trục Oy là trục đối xứng, gốc O là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 chân cổng.
Khi đó đỉnh của (P) là I(0;4) và (P) đi qua A(-3;0) và B(3;0).
Lập được công thức $(P):y=-\frac{4}{9}{x}^2+4$ (0.25 điểm).

Với xe tải độ rộng 3m nên giả sử $N\left(\frac{3}{2};y_N\right)\in (P)$ (0.25 điểm).
Khi đó $y_N=-\frac{4}{9}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2+4=3$.
Do vậy để xe tải đi qua cổng thì chiều cao của xe tải không quá 3m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng (Oxy), M thỏa MA+MB=2√34 với A(3;0), B(−3;0) nên M nằm trên elipse tâm O, tiêu điểm ±3, trục lớn 2a=2√34 ⇒ a=√34, c=3, b²=a²−c²=34−9=25 ⇒ b=5. Elipse: x²/34 + y²/25 =1. Hình chiếu của C xuống (Oxy) là C'(0;5), đúng đỉnh trên của elipse nên khoảng cách từ C' đến elipse bằng 0. Vì M nằm trong (Oxy) và C có cao 1 nên MC = √(MC'² + 1) ≥ 1, đạt được khi M=C'(0;5;0). Vậy min MC = 1.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng (Oxy) với MA+MB=2√34 > AB=6 nên M nằm trên elipse tâm O, tiêu điểm A(3;0), B(−3;0): 2a=2√34 ⇒ a²=34, c=3, b²=a²−c²=25. Phương trình elipse: x²/34 + y²/25 = 1, viết M(√34 cos t; 5 sin t; 0). Ta có MC² = 34cos²t + (5sin t − 5)² + 1 = 60 − 9sin²t − 50sin t. Đặt s = sin t ∈ [−1;1], f(s)=60−9s²−50s có f'(s)=−18s−50<0 trên [−1;1] nên f giảm, min tại s=1: f=60−9−50=1. Vậy MC ngắn nhất bằng 1 (khi M(0;5;0), tức hình chiếu của C). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc tại chân cổng trái, hai chân cổng tại $x=0$ và $x=8$, đỉnh parabol tại $x=4$. Parabol có dạng $y=a(x-4{)}^2+h$ với $h$ là chiều cao cổng. Vì $y(0)=0$ nên $16a+h=0\Rightarrow h=-16a$. Theo đề, tại $x=0,5$ có $y=2,93$: $a(0,5-4{)}^2+h=12,25a+h=2,93$. Thay $h=-16a$: $-3,75a=2,93\Rightarrow a=-\frac{2,93}{3,75}$. Suy ra $h=16\cdot \frac{2,93}{3,75}=\frac{46,88}{3,75}\approx 12,5013\approx 12,5$ m. Vậy chiều cao cổng parabol khoảng $12,5$ m.

Gắn parabol vào hệ trục như hình vẽ (điểm cao nhất của đạn thuộc trục $Oy$)

Khi đó quỹ đạo của đạn có dạng $y=a.x^2+c(\ast )$.

Vì đạn bay xa nhất là $98m$ nên quỹ đạo của đạn là đồ thị hàm số bậc hai dạng (*) đi qua điểm $(49;0)$.

Tại thời điểm đạn cao $\frac{225}{7}m$ thì hình chiếu vuông góc của viên đạn trên mặt đất cách xa điểm bắn là $63m$ nên quỹ đạo của đạn là đồ thị hàm số bậc hai dạng (*) đi qua điểm $\left(14;\frac{225}{7}\right)$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}a.49^2+c=0\\ a.14^2+c=\frac{225}{7}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-5}{343}\\ b=35\end{array}$

Quỹ đạo của viên đạn là $y=-\frac{5}{343}{x}^2+35$.

Vậy điểm cao nhất của đạn là $35m$.

Gắn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ $O$ trùng một chân của cổng, trục hoành nằm trên đường nối hai chân cổng (đơn vị trên các trục tính theo mét). Gọi hàm số bậc hai có đồ thị chứa đường viền trong của cổng chào trên là $y=a{x}^2+bx+c$.

Từ giả thiết bài toán ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm $O(0;0)$, $A(4,5;0)$, $B(1;1,8)$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}4,5^{2}a+4,5b=0\\ a+b=1,8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-18}{35}\\ b=\frac{81}{35}\end{array}$

Suy ra ta có hàm số: $y=-\frac{18}{35}{x}^2+\frac{81}{35}x$ (P)

(P) có hoành độ đỉnh $x=9/4$; $y(9/4)\approx 2,6$. Chiều cao của cổng chào là 2,6m

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của Parabol $(P)$: $y=a{x}^2+bx+c$ với $a<0$. Trục đối xứng $x=0$; $G(0;3)\in (P)$; $E\left(\frac{3}{2};2\right)\in (P)$ $\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=0\\ 0a+0b+c=3\\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{9}\\ b=0\\ c=3\end{array}$ (0.25 điểm) $\Rightarrow (P):y=-\frac{4}{9}{x}^2+3$ (0.25 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và trục hoành là: $-\frac{4}{9}{x}^2+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$ (0.25 điểm). Vậy khoảng cách giữa hai chân cổng là $5,2$ mét. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc tại trung điểm $H$ của $AB$, trục $Oy$ dọc theo $GH$. Khi đó $A(-2;0)$, $B(2;0)$, $G(0;4)$, parabol có dạng $y=4-x^2$ (kiểm tra: diện tích dưới parabol $={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=\frac{32}{3}{m}^2$ khớp với đề bài).

Hai cánh cổng là hình chữ nhật $CDEF$ với $CD=AB-2\cdot AC=4-1,8=2,2m$, tức $C(-1,1;0)$, $D(1,1;0)$. Điểm $E$ trên parabol tại $x=1,1$: $y_E=4-1,1^2=4-1,21=2,79m$.

Diện tích hình chữ nhật: $S_1=2,2\times 2,79=6,138m^2$.
Diện tích phần để trống: $S_2=\frac{32}{3}-6,138\approx 10,6667-6,138=4,5287m^2$.

Chi phí: $2200\times 6,138+900\times 4,5287=13503,6+4075,79\approx 17579,39$ nghìn đồng.

Kết quả làm tròn: $17579$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB=8$ và $MA+MB=10>8$, tập hợp điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ là elip tâm $O$, tiêu điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ với $2a=10\Rightarrow a=5$, $c=4$, nên $b^2=a^2-c^2=9$. Elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, $z=0$. Hình chiếu của $C(0;6;1)$ lên $(Oxy)$ là $C^{\prime }(0;6;0)$, khi đó $MC=\sqrt{M{C}^{\prime 2}+1}$, nên cần tìm điểm trên elip gần $C^{\prime }$ nhất. Tham số hóa điểm trên elip: $(5\cos t;3\sin t)$. Ta có $M{C}^{\prime 2}=25{\cos }^{2}t+(3\sin t-6{)}^2=61-16{\sin }^{2}t-36\sin t$. Đặt $s=\sin t\in [-1;1]$, hàm $16s^2+36s$ đồng biến trên $[-1;1]$ (đạo hàm $32s+36>0$), đạt max tại $s=1$ với giá trị $52$. Vậy $\min M{C}^{\prime 2}=61-52=9$, tức $\min M{C}^{\prime }=3$ tại điểm $(0;3;0)$. Do đó $\min MC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm đoạn nối hai chân cổng trên mặt đất, trục Ox nằm trên mặt đất, trục Oy đi qua đỉnh cổng. Hai chân cổng cách nhau 8m nên có toạ độ $A(-4;0)$ và $B(4;0)$. Parabol có dạng $y=a{x}^2+k$ (đỉnh $(0;k)$, $a<0$).

Vì chân cổng thuộc parabol: $0=16a+k$.

Điểm $M$ trên thành cổng có độ cao $5,5m$ và vị trí thả dây cách chân cổng gần nhất $1m$, nên hoành độ của $M$ là $x=\pm 3$ (vì $4-1=3$). Suy ra $5,5=9a+k$.

Trừ hai phương trình: $5,5=9a+k-(16a+k)=-7a\Rightarrow a=-\frac{5,5}{7}=-\frac{11}{14}$.

Suy ra $k=-16a=\frac{88}{7}\approx 12,57$.

Vậy chiều cao của cổng (từ mặt đất đến đỉnh parabol) là $\frac{88}{7}\approx 12,57m$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip chính tắc đi qua $A(5;0)$ nên trục lớn nằm trên trục $Ox$ với $a=5$. Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Vậy phương trình là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với tiêu cự $2c$ thỏa mãn hệ thức $c^2=a^2+b^2$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=24x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=24\Rightarrow p=12$. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(6;0)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại tâm mặt đường, trục $Ox$ dọc mặt đường. Nửa elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $y\ge 0$. Chiều rộng hầm $12m$ nên $2a=12\Rightarrow a=6$; chiều cao lớn nhất $4m$ nên $b=4$. Vậy $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$. Tại vị trí cách mép đường $1,5m$ thì $x=6-1,5=4,5$, suy ra $\frac{y^2}{16}=1-\frac{4,5^2}{36}=1-\frac{20,25}{36}=\frac{15,75}{36}$, nên $y=4\sqrt{\frac{15,75}{36}}\approx 2,6458$. Vậy $h\approx 2,65m$.