Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó $CD=8m;AD=4m$, phía trên cổng có dạng hình parabol. Người ta cần thiết kế cổng sao cho những chiếc xe container chở hàng với bề ngang thùng xe là $6m$, chiều cao là $5,4m$ có thể đi qua được (chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe, thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật và đầu xe thấp hơn thùng xe). Hỏi đỉnh $I$ của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là bao nhiêu mét?

Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc, xây dựng, thiết bị nội thất. Mặt trong (lót lòng) và ngoài (phủ bì) của một bồn rửa (lavabo) bằng sứ có hình dạng là một nửa khối tròn xoay khi quay quanh một trục của 2 elip có chung các trục đối xứng (hình minh họa). Thông số kĩ thuật mặt trên của bồn rửa: dài × rộng là $660\times 380$ mm (phủ bì) và elip (lót lòng) có trục lớn, trục nhỏ ít hơn elip phủ bì một khoảng 40 mm. Tính thể tích chứa nước của bồn rửa (đơn vị: lít) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

Một chiếc cổng có dạng một phần parabol và cổng cao $4m$, rộng $6m$. Một chiếc xe tải chở hàng có độ rộng $3m$ đi qua cổng. Hỏi chiều cao của xe chở hàng hóa phải thỏa mãn điều kiện gì để xe tải đi qua cổng.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A\left(3;0;0\right),B\left(-3;0;0\right)$ và $C\left(0;5;1\right)$. $M$ là một điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ sao cho $MA+MB=2\sqrt{34}$. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MC$ bằng

Cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là $8m$ và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng $0,5m$ là $2,93m$. Chiều cao của cổng parabol bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một viên đạn bắn ra từ máy bắn đá đặt ở mặt đất có quỹ đạo là một Parabol $(P)$. Biết rằng đạn của máy bắn đá bắn xa $98m$ và tại thời điểm đạn cao $\frac{225}{7}m$ thì hình chiếu vuông góc của viên đạn trên mặt đất cách xa điểm bắn là $63m$. Vị trí đạn bay cao nhất là bao nhiêu? (bỏ qua chiều cao của máy bắn đá).

Tại một buổi khai trương, người ta làm một cổng chào có đường viền trong của mặt cắt là đường parabol. Người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng là $4,5m$. Từ một điểm trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất (điểm $H$) là $1,8m$ và khoảng cách từ điểm $H$ tới chân cổng gần nhất là $1m$. Hãy tính chiều cao của cổng chào đó (tính theo đường viền trong) theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Bác Ba xây một chiếc cổng hình Parabol và gắn cửa hình chữ nhật bên dưới cổng (như hình vẽ). Biết chiều cao của cổng là 3 mét và biết cánh cửa có chiều cao 2 mét, chiều rộng 3 mét. Hỏi khoảng cách giữa 2 chân cổng (độ dài đoạn AB) bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao $GH=4m$, chiều rộng $AB=4m$, $AC=BD=0,9m$. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm giá là 2200 nghìn đồng/m${}^2$, còn các phần để trống làm xiên hoa có giá là 900 nghìn đồng/m${}^2$. Biết diện tích của cái cổng parabol là $\frac{32}{3}{m}^2$. Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói trên là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội trên đường Giải Phóng có hình dáng là đường Parabol.
Khoảng cách giữa hai chân cổng là $8m$. Trên thành cổng, tại vị trí $M$ có độ cao $5,5m$ so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất (dây thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Khi đó, vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng gần nhất một đoạn là $1m$.

Hãy xác định chiều cao của chiếc cổng này (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).
(Caption: Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội)

Một đường hầm xuyên núi có chiều rộng $12m$, mặt cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip (hình dưới).
[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]
Các kĩ sư đã thiết kế sao cho vị trí cao nhất của hầm so với mặt đường là $4m$. Hãy tính chiều cao $h$ của hầm tại vị trí cách mép đường $1,5m$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong điều kiện thời tiết xấu, một tàu đánh cá phát tín hiệu cấp cứu tại vị trí $M$. Hai trạm thu tín hiệu $A$ và $B$ đặt ven biển cách nhau 100 km. Tín hiệu vô tuyến từ tàu $M$ truyền đến trạm $A$ sớm hơn truyền đến trạm $B$ là $0,2.10^{-3}$ giây. Biết vận tốc truyền tín hiệu vô tuyến trong không khí là 300.000 km/s. Qua radar, người ta xác định được tàu $M$ đang ở cách đường thẳng nối hai trạm $A$ và $B$ một khoảng là 40 km. Một tàu cứu hộ xuất phát tại cảng $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Khoảng cách từ cảng $K$ đến vị trí tàu $M$ gặp nạn bằng bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$, biết $(H)$ đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};-4\right)$ và có một tiêu điểm là $F_2\left(5;0\right)$.

Một đường hầm xuyên thẳng qua núi và có mặt cắt là một parabol (thông số như hình bên). Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang 6 mét đi vào vị trí chính giữa miệng hầm. Biết chiều cao $h$ của xe tải thoả mãn $a<h<b$ để có thể đi vào cửa hầm mà không chạm trướng. Tính $a+b$?

Một đường hầm xuyên thẳng qua núi và có mặt cắt là một parabol (thông số như hình bên). Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang 6 mét đi vào vị trí chính giữa miệng hầm. Biết chiều cao $h$ của xe tải thoả mãn $a<h<b$ để có thể đi vào cửa hầm mà không chạm trướng. Tính $a+b$?

Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông $ABCD$ với $AB=45m$, $AD=30m$. Bác ấy đã đào một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh $BC$ và đường cong $BIC$ là một phần của đường parabol đỉnh $I$ như hình vẽ.



Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm $M$ trên cạnh $AD$ ra một điểm trên mép hồ sen rồi lại từ điểm đó tới một điểm trên cạnh $AB$. Biết khoảng cách từ $I$ đến $AB$ và $AD$ tương ứng là $20m$ và $25m$, hỏi tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?

Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m. Trên thành cổng tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m. Tính chiều cao của cổng Arch.

Một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có $AD=8\text{m}$, $AB=10\text{m}$ với một cổng ra vào có dạng một parabol, trong đó đỉnh $S$ cách cạnh $AD$ một khoảng bằng $4,8\text{m}$ và $AF=ED=2\text{m}$ (được minh họa bằng hình bên). Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của bức tường đó. Chi phí sơn bức tường là 15000 đồng/ 1 ${\text{m}}^2$. Tổng chi phí sơn mặt ngoài của bức tường là bao nhiêu (đơn vị nghìn đồng)?

Cổng $GatewayArch$ ở thành phố $Missouri$ (Mỹ) có hình dạng là Parabol (như hình vẽ), người ta đo được khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB=162m$. Từ một điểm $M$ trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là $MH=43m$ và khoảng cách từ $H$ tới điểm chân cổng gần nhất là $HA=10m$. Chiều cao của cổng $GatewayArch$ được làm tròn đến hàng phần chục là

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.



Dựa vào bản vẽ ở hình trên, biết dây dài nhất là $5m$, dây ngắn nhất là $0,8m$, khoảng cách giữa các dây bằng nhau, nhịp cầu dài 30 m. Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định. Chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?