Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Cổng rộng $d=6m$ nên chân hai bên cổng có hoành độ $x=\pm 3$. Chiều cao cổng là khoảng cách từ đỉnh parabol $(0;0)$ xuống mặt đất: $h=0-f(3)=\frac{1}{2}\cdot 3^2=4,5m$. Vậy $h=4,5m$, khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip chính tắc đi qua $A(5;0)$ nên trục lớn nằm trên trục $Ox$ với $a=5$. Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Vậy phương trình là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=36,b^2=16$, nên $a=6,b=4$. Vì $a>b$ nên trục lớn nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=36-16=20$, suy ra $c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Tiêu cự của elip là $2c=4\sqrt{5}$. Hai tiêu điểm của elip là $F_1(-2\sqrt{5};0)$ và $F_2(2\sqrt{5};0)$. Kiểm tra: $c^2=20<36=a^2$ thỏa mãn điều kiện tiêu điểm của elip.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Vì $(E)$ đi qua $A(6;0)$ nên $a=6$. Tiêu cự $2c=8\Rightarrow c=4$, suy ra $b^2=a^2-c^2=36-16=20$. Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol chính tắc nhận trục Oy làm trục đối xứng, đỉnh tại gốc tọa độ, có dạng $x^2=2py$ ($p>0$). Vì $(P)$ đi qua $E(2;2)$ nên thay tọa độ: $2^2=2p\cdot 2\iff 4=4p\iff p=1$. Vậy phương trình chính tắc là $x^2=2y$. Kiểm tra: $E(2;2)$ thỏa $4=2\cdot 2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip đi qua M(8;0) nên trục lớn nằm trên trục hoành, a = 8, a² = 64. Tiêu cự 2c = 6 nên c = 3, suy ra b² = a² − c² = 64 − 9 = 55. Vậy phương trình chính tắc là x²/64 + y²/55 = 1, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=36,b^2=16$ nên $c^2=a^2-b^2=36-16=20$, suy ra $c=2\sqrt{5}$. Tiêu cự $F_1{F}_2=2c=4\sqrt{5}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H)$ nhận trục $Ox$ làm trục thực (vì đi qua $A(1;0)$ nằm trên $Ox$), nên có phương trình dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Vì $(H)$ đi qua $A(1;0)$ nên $\frac{1}{a^2}-0=1\Rightarrow a^2=1$. Cỡ tiêu cự bằng 6 nghĩa là $2c=6\Rightarrow c=3$... Xét lại: tiêu cự $2c=6$ cho $c=3$, khi đó $c^2=a^2+b^2\Rightarrow b^2=c^2-a^2=9-1=8$. Vậy phương trình là $x^2-\frac{y^2}{8}=1$. Kiểm tra: $a^2=1$, $b^2=8$, $c^2=9$, $2c=6$ thỏa mãn, và $A(1;0)$ thỏa phương trình.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol nhận trục hoành làm trục thực, có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Vì $(H)$ cắt trục hoành tại $A(4;0)$ nên $a=4$ (đỉnh của hypebol). Tiêu điểm $F_1(-5;0)$ cho $c=5$. Do đó $b^2=c^2-a^2=25-16=9$. Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng, đỉnh tại O, tiêu điểm F(3/2;0) nên p = 2·(3/2) = 3 > 0, parabol mở về phía dương Ox. Phương trình chính tắc: y² = 2px = 6x. Vậy y² = 6x.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{76}=1$, với $a^2=400\Rightarrow a=20$, $b^2=76$. Do $a^2>b^2$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Tính $c^2=a^2-b^2=400-76=324\Rightarrow c=18$. Hai tiêu điểm là $F_1(-18;0)$ và $F_2(18;0)$: nguồn phát sóng đặt tại một tiêu điểm, viên sỏi đặt tại tiêu điểm còn lại. Vậy khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng đến vị trí sỏi thận là $F_1{F}_2=2c=36$ (đơn vị dài theo đề bài).

(AI giải đề cho tôi)
Elip có một tiêu điểm $F_1(-2;0)$ nên $c=2$, tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng $2a=10$ nên $a=5$. Khi đó $b^2=a^2-c^2=25-4=21$, suy ra $b=\sqrt{21}$. Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2c=6\Rightarrow c=3$ và $2a=10\Rightarrow a=5$. Vì $a>c>0$ nên elip nhận trục lớn là trục $Ox$, có phương trình dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $b^2=a^2-c^2=25-9=16\Rightarrow b=4$. Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì Hypebol có một tiêu điểm $F(6;0)$ nên tâm sai trục $Ox$, $c=6$. Hypebol đi qua điểm $M(4;0)$ nằm trên trục $Ox$, nên $M$ là đỉnh của Hypebol, suy ra $a=4$. Khi đó $b^2=c^2-a^2=36-16=20$. Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$. Kiểm tra: $M(4;0)$ thỏa $\frac{16}{16}-0=1$ ✓; tiêu điểm $(\pm 6;0)$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có tiêu cự $2c=26$ nên $c=13$. Độ dài trục thực $2a=24$ nên $a=12$. Theo hệ thức $c^2=a^2+b^2$ ta có $b^2=13^2-12^2=169-144=25$, suy ra $b=5$. Chọn trục thực là trục $Ox$, phương trình chính tắc của hypebol là $$\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x²/25 + y²/16 = 1 với a²=25, b²=16.
a) Thay M(2;3): 4/25 + 9/16 = (64+225)/400 = 289/400 ≠ 1, nên M ∉ (E) → sai.
b) c² = a² − b² = 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3, tiêu cự 2c = 6 → đúng.
c) Với x = 1: 1/25 + y²/16 = 1 ⇒ y²/16 = 24/25 ⇒ y² = 384/25 ⇒ y = ±8√6/5. Vậy (Δ) cắt (E) tại P(1; −8√6/5) và Q(1; 8√6/5) → đúng.
d) Thay y = 3x vào (E): x²/25 + 9x²/16 = 1 ⇒ x²(16+225)/400 = 1 ⇒ x² = 400/241 ⇒ x = ±20/√241. Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng cắt elip tại 2 điểm phân biệt, không phải một điểm chung duy nhất → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
4/25 + 9/16 = 289/400 ≠ 1 nên M(2;3) không thuộc (E).
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3, tiêu cự 2c = 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x=1: y² = 384/25 ⇒ y = ±8√6/5, đúng như hai điểm P, Q.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay y=3x: x² = 400/241 ⇒ hai nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt elip tại 2 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=25\Rightarrow a=5$. Theo tính chất tổng quát của elip, với mọi điểm $M$ thuộc elip, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là $M{F}_1+M{F}_2=2a=10$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=9,b^2=1$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Tính $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-2\sqrt{2};0)$ và $F_2(2\sqrt{2};0)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$. Elip đi qua $A(5;0)$ nằm trên trục hoành nên $a=5$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, tương ứng đáp án D. Kiểm tra: các phương án A, C có $c=\sqrt{100-81}=\sqrt{19}$ hoặc $c=4$ (sai tiêu cự), B không đi qua $A(5;0)$ vì $25/15\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16$, $b^2=9$, nên $c^2=a^2+b^2=16+9=25\Rightarrow c=5$. Hai tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-5;0)$, $F_2(5;0)$. Vậy đáp án C.