Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ($a=5$, $b=4$). Hình chữ nhật nội tiếp có đỉnh $(x,y)$ trên elip, diện tích $S_1=4xy$; diện tích trồng hoa $S_2=40\pi -4xy$. Tổng chi phí (triệu đồng): $P=0,8\cdot 4xy+0,9(40\pi -4xy)=36\pi -0,4xy$. Để $P$ nhỏ nhất cần $xy$ lớn nhất. Với $y=4\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}$, hàm $f(x)=x\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}$ đạt max tại $x=\frac{5}{\sqrt{2}}$, khi đó $y=\frac{4}{\sqrt{2}}$, $xy=10$. Vậy $P_{\min }=36\pi -0,4\cdot 10=36\pi -4\approx 109,1$ triệu đồng, làm tròn thành $109$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc tại tâm sân, trục Ox song song với chiều dài 14 m. Khi đó (P1): y = ax² + c đi qua hai đỉnh (±7; 6) của sân nên 6 = 49a + c, tức c = 6 − 49a (a > 0, c < 0, parabol có đỉnh dưới tâm sân); (P2): y = −ax² − c đối xứng với (P1) qua tâm. Đường tròn (C): x² + y² = r². Thay phương trình (P1) vào đường tròn: x² + (ax² + c)² = r², đặt t = x² ≥ 0: (1 + a²)t² + 2act + (c² − r²) = 0. Để đường tròn và parabol có duy nhất một điểm chung (tiếp xúc), phương trình phải có nghiệm kép: Δ' = 0 ⇔ a²c² = (1 + a²)(c² − r²) ⇔ r² = c²/(1 + a²). Vì hình tròn nằm trong sân có chiều rộng 12 m nên r ≤ 6, do đó diện tích lớn nhất khi r = 6 (đường tròn tiếp xúc hai cạnh ngắn của sân). Khi đó (49a − 6)² = 36(1 + a²) ⇔ 2365a² − 588a = 0 ⇔ a = 588/2365 ≈ 0,2486 (> 6/49, thỏa mãn), khi đó hai parabol vẫn cắt nhau và đường tròn tiếp xúc duy nhất mỗi parabol tại một điểm. Diện tích phần lát gạch: S = π·6² = 36π (m²). Chi phí: 36π · 240 000 = 8 640 000π ≈ 27 143 361 đồng ≈ 27,1 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng (Oxy) với MA + MB = 10 > AB = 8, nên M nằm trên elip tâm O với A(4;0), B(-4;0) là hai tiêu điểm: a = 5, c = 4, b² = a² - c² = 9, tức x²/25 + y²/9 = 1. Với M(x;y;0), ta có MC² = x² + (y-6)² + 1. Cần tìm điểm trên elip gần C'(0;6) nhất trong mặt phẳng Oxy. Khoảng cách từ C' đến elip nhỏ nhất đạt tại đỉnh (0;3) (điểm trên cùng của elip), khoảng cách bằng 6 - 3 = 3. Thật vậy, với điểm (x;y) trên elip, x² = 25(1 - y²/9), nên MC² = 25 - 25y²/9 + y² - 12y + 36 + 1 = 62 - 12y - 16y²/9, hàm nghịch biến theo y trên [-3;3], nhỏ nhất tại y = 3: MC² = 62 - 36 - 16 = 10. Vậy MC_min = √10 ≈ 3,16, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng (Oxy) với MA+MB=2√34 > AB=6 nên M nằm trên elipse tâm O, tiêu điểm A(3;0), B(−3;0): 2a=2√34 ⇒ a²=34, c=3, b²=a²−c²=25. Phương trình elipse: x²/34 + y²/25 = 1, viết M(√34 cos t; 5 sin t; 0). Ta có MC² = 34cos²t + (5sin t − 5)² + 1 = 60 − 9sin²t − 50sin t. Đặt s = sin t ∈ [−1;1], f(s)=60−9s²−50s có f'(s)=−18s−50<0 trên [−1;1] nên f giảm, min tại s=1: f=60−9−50=1. Vậy MC ngắn nhất bằng 1 (khi M(0;5;0), tức hình chiếu của C). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB=8$ và $MA+MB=10>8$, tập hợp điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ là elip tâm $O$, tiêu điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ với $2a=10\Rightarrow a=5$, $c=4$, nên $b^2=a^2-c^2=9$. Elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, $z=0$. Hình chiếu của $C(0;6;1)$ lên $(Oxy)$ là $C^{\prime }(0;6;0)$, khi đó $MC=\sqrt{M{C}^{\prime 2}+1}$, nên cần tìm điểm trên elip gần $C^{\prime }$ nhất. Tham số hóa điểm trên elip: $(5\cos t;3\sin t)$. Ta có $M{C}^{\prime 2}=25{\cos }^{2}t+(3\sin t-6{)}^2=61-16{\sin }^{2}t-36\sin t$. Đặt $s=\sin t\in [-1;1]$, hàm $16s^2+36s$ đồng biến trên $[-1;1]$ (đạo hàm $32s+36>0$), đạt max tại $s=1$ với giá trị $52$. Vậy $\min M{C}^{\prime 2}=61-52=9$, tức $\min M{C}^{\prime }=3$ tại điểm $(0;3;0)$. Do đó $\min MC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Đáp án B.

Từ việc $M$ và $T$ di động trên $(P)$ ta đặt: $M(t^2,2t)$, $T(u^2,2u)$ với $t,u\ne 0$.

Do $OM\perp OT$ nên $t^2{u}^2+4tu=0\Rightarrow tu=-4$.

(1) Vì $tu=-4<0$ nên $t\ne u$. Đường thẳng $MT$ có phương trình $2x-(t+u)y+2tu=0$, hay $2x-(t+u)y-8=0$. Do đó $MT$ luôn đi qua điểm cố định $A(4,0)$.

(2) Gọi $I(x,y)$ là trung điểm của $MT$. Ta có $x=\frac{t^2+u^2}{2}$, $y=t+u$, suy ra $y^2=t^2+u^2+2tu=2x-8$.

Vậy $I$ thuộc parabol cố định $(Q):y^2=2x-8$.

Ngược lại, với mỗi điểm $I(x,y)\in (Q)$, phương trình $z^2-yz-4=0$ có hai nghiệm thực $t,u$ khác 0 thỏa mãn $t+u=y$, $tu=-4$. Khi đó $M(t^2,2t)$, $T(u^2,2u)$ thuộc $(P)$, $OM\perp OT$ và có trung điểm là $I$. Vậy trung điểm của $MT$ luôn chạy trên parabol $(Q)$ cố định.

Chọn hệ trục toạ độ: Chọn hệ trục $Oxy$ có gốc trùng với đỉnh $P$ của cung parabol, trục $Oy$ là trục đối xứng của cung parabol và hướng lên trên, trục $Ox$ chứa đoạn thẳng $PQ$. Đơn vị trên hai trục là mét. Phương trình cung parabol: Vì parabol có đỉnh là gốc toạ độ và nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên nó có phương trình $y=k{x}^2$. Theo kích thước đã cho, điểm $B(4;8)$ thuộc cung parabol, do đó $8=16k$, suy ra $k=\frac{1}{2}$. Vậy $$(AnB):y=\frac{x^2}{2},x\in [-4;4].$$ Phương trình đường tròn: Điểm $Q(14;0)$ là điểm cao nhất của đường tròn $(C)$ và $(C)$ có bán kính 4, nên tâm của $(C)$ là $J(14;-4)$ và $$(C):(x-14{)}^2+(y+4{)}^2=16.$$ Đưa về bài toán một biến: Với $M$ thuộc cung parabol và $N$ thuộc $(C)$, theo bất đẳng thức tam giác, $$MN\ge MJ-JN=MJ-4,$$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $MJ$ với $(C)$. Do đó chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của $MJ$. Khảo sát khoảng cách $MJ$: Với $M\left(x;\frac{x^2}{2}\right)$, $x\in [-4;4]$, đặt $$f(x)=M{J}^2=(x-14{)}^2+{\left(\frac{x^2}{2}+4\right)}^2.$$ Ta có $$f^{\prime }(x)=2(x-14)+2\left(\frac{x^2}{2}+4\right)x=x^3+10x-28=(x-2)(x^2+2x+14).$$ Vì $x^2+2x+14=(x+1{)}^2+13>0$ với mọi $x$ nên $f^{\prime }(x)$ cùng dấu với $x-2$. Suy ra $f$ nghịch biến trên $[-4;2]$ và đồng biến trên $[2;4]$, do đó $f$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $[-4;4]$ tại $x=2$: $$\underset{[-4;4]}{\min }f=f(2)=(2-14{)}^2+(2+4{)}^2=144+36=180.$$ Vậy $M{J}_{\min }=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$, đạt được khi $M(2;2)$. Kết luận: $$M{N}_{\min }=6\sqrt{5}-4\approx 9,42\text{ (m)},$$ đạt được khi $M(2;2)$ và $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $MJ$ với đường tròn $(C)$. Đáp số: Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng $6\sqrt{5}-4$ (mét).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $6$ đỉnh parabol là $R=\sqrt{3}+4\text{ dm}$. Diện tích hình tròn là $S_{\text{troˋn}}=\pi (4+\sqrt{3}{)}^2$. Diện tích lục giác đều là $S_1=6\sqrt{3}{\text{ dm}}^2$. Diện tích $6$ cánh hoa parabol là $S_2=6\cdot \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 4=32{\text{ dm}}^2$. Diện tích phần tô màu là $S=\pi (4+\sqrt{3}{)}^2-(6\sqrt{3}+32)\approx 60,83\approx 61{\text{ dm}}^2$.

Tập hợp điểm biểu diễn $z$ là elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Vì $\frac{z_1}{z_2}$ thuần ảo nên $O{M}_1\perp O{M}_2$, suy ra $\frac{1}{|z_1{|}^2}+\frac{1}{|z_2{|}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{41}{400}$. Áp dụng BĐT Cauchy: $\frac{41}{400}\ge \frac{2}{|z_1{z}_2|}⟹|z_1{z}_2|\ge \frac{800}{41}$. Chọn C.

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$, $F_1(1;-3),F_2(-5;-1)$. Ta có $F_1{F}_2=\sqrt{(-6{)}^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $M{F}_1+M{F}_2=2\sqrt{65}$ là một elip. Trung điểm của $F_1{F}_2$ là $I(-2;-2)$. Tính giá trị nhỏ nhất của $|z+2+i|$ dẫn đến nghiệm $z=a+bi$ thỏa mãn $2a^2+b^2=33$. Chọn B.

Đặt $z=x+yi$. Ta có $z+\bar{z}=2x$. Số phức $\frac{(x-1)+(y+1)i}{1+2xi}=\frac{[(x-1)+(y+1)i](1-2xi)}{1+4x^2}$.
Số này là số thực $⟺$ phần ảo bằng 0 $⟺(y+1)-2x(x-1)=0⟺y=2x^2-2x-1$.
Điểm biểu diễn của $w=\frac{z}{2}=X+Yi$ có $X=\frac{x}{2}⟺x=2X$ và $Y=\frac{y}{2}⟺y=2Y$.
Thay vào: $2Y=2(2X{)}^2-2(2X)-1=8X^2-4X-1⟺Y=4X^2-2X-\frac{1}{2}$.
Đỉnh của parabol có hoành độ $X=-\frac{-2}{2\cdot 4}=\frac{1}{4}$, tung độ $Y=4\left(\frac{1}{16}\right)-2\left(\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}$.
Vậy đỉnh là $I\left(\frac{1}{4};-\frac{3}{4}\right)$. Chọn A.

Gọi $z=x+yi$ với $x>1$. Ta có $2z+\bar{z}-5-3i=3x-5+(y-3)i$. Biến đổi điều kiện đẳng thức môđun ta xác định tập hợp điểm $z$ là một nhánh parabol hoặc đường conic. Để khoảng cách từ điểm $M(x;y)$ đến $A(2;2)$ đạt nhỏ nhất, sử dụng phương pháp đại số ta tìm được hoành độ $x=\frac{4+\sqrt{6}}{2}$. Chọn D.

Chọn D.
Gọi điểm $M$ biểu diễn số phức $z$. Đặt $A(-1;-1)$ và $B(2;-2)$? Ta có độ dài đoạn $AB$ và phương trình quỹ đạo điểm $M$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $ME+MF$ với $E(1;3)$ và $F(3;-5)$, thu được kết quả nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}+\sqrt{10}$.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn $|z+3|+|z-3|=10$ là elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Điều kiện $|z_1^2|+|z_2^2|=|z_1-z_2{|}^2\iff O{M}_1\perp O{M}_2$. Khi đó $\frac{1}{O{M}_1^2}+\frac{1}{O{M}_2^2}=\frac{1}{25}+\frac{1}{16}=\frac{41}{400}$. Áp dụng công thức đường trung tuyến: $|z_1+z_2{|}^2=O{M}_1^2+O{M}_2^2\ge \frac{4}{\frac{1}{O{M}_1^2}+\frac{1}{O{M}_2^2}}=\frac{1600}{41}\Rightarrow |z_1+z_2|\ge \frac{40}{\sqrt{41}}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$. Điểm $M$ vừa thuộc đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ vừa thuộc elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 (trang 9), đáp án là A ($1$).

Elip có $a=5,b=4,c=3$, diện tích $S=\pi ab=20\pi {\text{ m}}^2$. Hai điểm tiếp xúc là $A\left(-3;\frac{16}{5}\right)$ và $B\left(3;-\frac{16}{5}\right)$. Tính diện tích phần trồng hoa và phần trồng cỏ rồi nhân đơn giá tương ứng ($150$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ và $100$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$), ta thu được tổng chi phí là $8799$ nghìn đồng. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): 8799.

Gắn hệ trục toạ độ $Oxy$ với gốc $O$ đặt tại đỉnh của parabol như hình vẽ dưới đây:



Theo đề bài, đỉnh parabol là $O(0;0)$.
Điểm $B$ nằm trên parabol có toạ độ $B(10;-30)$.
Phương trình parabol có dạng $y=a{x}^2$.
Thay toạ độ $B$ vào phương trình: $-30=a\cdot 10^2⟹a=-\frac{3}{10}$.
Vậy phương trình parabol là $y=-\frac{3}{10}{x}^2$.

Tâm $I$ của hình tròn có toạ độ $I(20;20)$, bán kính hình tròn là $R=10\text{ m}$.

Lấy điểm $M\left(x;-\frac{3}{10}{x}^2\right)$ thuộc phần parabol với $x\in [0;10]$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $M$ là:
$IM=\sqrt{(x-20{)}^2+{\left(-\frac{3}{10}{x}^2-20\right)}^2}=\sqrt{(x-20{)}^2+{\left(\frac{3}{10}{x}^2+20\right)}^2}$.

Khảo sát hàm số khoảng cách $f(x)=(x-20{)}^2+{\left(\frac{3}{10}{x}^2+20\right)}^2$ trên $[0;10]$, giá trị nhỏ nhất của $IM$ đạt được xấp xỉ $27,7\text{ m}$.

Độ dài ngắn nhất của đoạn đường nối giữa phần parabol và phần hình tròn là:
$d_{\min }=I{M}_{\min }-R=27,7-10=17,7\text{ m}$.

Gọi $N(x;y;0)$ là giao điểm của $\Delta$ với mặt phẳng $(Oxy)$. Khoảng cách từ $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$ đến $\Delta$ lần lượt là $NA$ và $NB$.
Theo giả thiết $NA+NB=2\sqrt{34}$ với $A(3;0;0),B(-3;0;0)$ có tiêu cự $2c=AB=6\Rightarrow c=3$, bán trục lớn $a=\sqrt{34}\Rightarrow b^2=a^2-c^2=34-9=25$.
Do đó $N(x;y;0)$ thuộc elip $(E):\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$ với $-5\le y\le 5$.
Với $M(x;y;z)$ ($0\le z\le 10$) và $C(0;6;1)$, ta có:
$M{C}^2=x^2+(y-6{)}^2+(z-1{)}^2=34\left(1-\frac{y^2}{25}\right)+(y-6{)}^2+(z-1{)}^2=-\frac{9}{25}{y}^2-12y+70+(z-1{)}^2$.
Trên đoạn $[-5;5]$, hàm $g(y)=-\frac{9}{25}{y}^2-12y+70$ nghịch biến nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $y=5\Rightarrow x=0$.
Đồng thời $(z-1{)}^2\ge 0$, dấu bằng xảy ra khi $z=1\in [0;10]$.
Vậy $M_0(0;5;1)\Rightarrow S=x_0+20y_0+11z_0=0+20\cdot 5+11\cdot 1=111$.

Đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30\text{ m}$ nên $2a=30\Rightarrow a=15$, suy ra $(-15;0)\in (H)$. Đáy dưới ở độ sâu $80\text{ m}$ so với gốc $O$ có bán kính $40\text{ m}$ nên điểm $(40;-80)\in (H)$ (ý d đúng).
Thay $(40;-80)$ vào $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{40^2}{15^2}-\frac{(-80{)}^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{64}{9}-1=\frac{6400}{b^2}\Rightarrow b^2=\frac{57600}{55}=\frac{11520}{11}$ (nên ý a sai vì mẫu số bị đảo ngược).
Diện tích đáy dưới của tháp là $S=\pi R^2=\pi \cdot 40^2=1600\pi \approx 5027{\text{ m}}^2\ne 1257{\text{ m}}^2$ (ý c sai).
Thể tích của tháp từ $y=-80$ đến $y=40$ là $V=\pi {\int }_{-80}^{40}{x}^{2}dy=\pi {\int }_{-80}^{40}225\left(1+\frac{11y^2}{11520}\right)dy\approx 214414{\text{ m}}^3$ (ý b đúng).