Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(3;0;0),B(-3;0;0)$ và $C(0;5;1)$. $M$ là một điểm thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=2\sqrt{34}$. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MC$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng (Oxy) với MA+MB=2√34 > AB=6 nên M nằm trên elipse tâm O, tiêu điểm A(3;0), B(−3;0): 2a=2√34 ⇒ a²=34, c=3, b²=a²−c²=25. Phương trình elipse: x²/34 + y²/25 = 1, viết M(√34 cos t; 5 sin t; 0). Ta có MC² = 34cos²t + (5sin t − 5)² + 1 = 60 − 9sin²t − 50sin t. Đặt s = sin t ∈ [−1;1], f(s)=60−9s²−50s có f'(s)=−18s−50<0 trên [−1;1] nên f giảm, min tại s=1: f=60−9−50=1. Vậy MC ngắn nhất bằng 1 (khi M(0;5;0), tức hình chiếu của C). Đáp án D.