Cho một đa giác đều 48 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên ba đỉnh của đa giác. Xác suất để tam giác tạo thành từ ba đỉnh đó là một tam giác nhọn bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 48 đỉnh nội tiếp đường tròn, tổng số cách chọn 3 đỉnh là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{48}{3}\right)=17296$.

Gọi $g_1,g_2,g_3$ là số khoảng cách (số cung nhỏ) giữa ba đỉnh liên tiếp trên đường tròn, $g_1+g_2+g_3=48$. Góc tại một đỉnh của tam giác bằng nửa cung đối diện, tức là bằng $g_i\cdot 3,75^{\circ }$. Do đó tam giác nhọn khi và chỉ khi cả ba khoảng cách đều $<24$, tức $g_i\le 23$ với mọi $i$.

Đếm các tam giác KHÔNG nhọn (tồn tại khoảng cách $\ge 24$): khi đó ba đỉnh nằm trong một cung đóng gồm 24 bước (nửa đường tròn). Cố định đỉnh $A$ ngay sau khoảng cách lớn, hai đỉnh còn lại nằm trong 24 vị trí kế tiếp theo chiều ngược lại: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{2}\right)=276$ cách. Mỗi tam giác không nhọn có đúng một khoảng cách $\ge 24$ (hai khoảng cách cùng $\ge 24$ khiến khoảng cách thứ ba $\le 0$, vô lý), nên được đếm đúng một lần.

Số tam giác không nhọn: $48\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{2}\right)=48\cdot 276=13248$ (bao gồm cả tam giác vuông có cặp đỉnh đối xứng qua tâm, vì góc $90^{\circ }$ không phải nhọn).

Số tam giác nhọn: $17296-13248=4048$.

Xác suất: $P=\frac{4048}{17296}=\frac{253}{1081}=\frac{11}{47}$.

Vậy chọn đáp án D.