Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+2x-2}{x+3}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+3{)}^2}$.
a) Trên $(-4;-2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến → Đúng.
b) $f(0)=-\frac{2}{3}$, $f^{\prime }(0)=\frac{8}{9}$. Tiếp tuyến: $y=\frac{8}{9}x-\frac{2}{3}$, cắt Ox tại $x=\frac{3}{4}$, Oy tại $y=-\frac{2}{3}$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{4}$ → Đúng.
c) Đặt $t=x+3\ne 0$: $t^2-4t+1=m|t|$. Với $t>0$: $t^2-(4+m)t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt dương khi $4+m>2$ và $\Delta >0\iff m>-2$. Với $t<0$: $t^2+(m-4)t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt âm khi $m-4>2\iff m>6$. Vậy 4 nghiệm phân biệt $\iff m>6$. Số nguyên $m\in [-2025;2025],m>6$: từ 7 đến 2025 gồm 2019 giá trị → Đúng.
d) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2-2x-m)\cdot (2x-2)$. $g^{\prime }(x)=0$ khi $x=1$ (với $u(1)=-1-m\ne -3$, tức $m\ne -2$) hoặc $x^2-2x-m=-2$ (2 nghiệm khi $m>1$) hoặc $x^2-2x-m=-4$ (2 nghiệm khi $m>3$). Với $m>3$, các nghiệm phân biệt nhau (tại $x=1$, $u=-1-m<-4$) nên $g$ có 5 điểm cực trị $\iff m>3$. Số nguyên $m\in [-10;10],m>3$: $4,5,6,7,8,9,10$ gồm 7 giá trị → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+2)(x+4)}{(x+3{)}^2}<0$ trên $(-4;-2)$ nên hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $y=\frac{8}{9}x-\frac{2}{3}$ tạo tam giác diện tích $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi $m>6$; có 2019 giá trị nguyên từ 7 đến 2025.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g$ có 5 điểm cực trị khi $m>3$; có 7 giá trị nguyên $m\in \{4,...,10\}$.