Bác thợ mộc có một khúc gỗ quý đồng chất dạng hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khúc gỗ được định giá theo trọng lượng với mỗi ki-lô-gam có giá là 6 triệu đồng. Một khách hàng đến mua một phần của khúc gỗ và yêu cầu bác thợ cắt theo mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm hai cạnh $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Giả sử khối gỗ ban đầu có trọng lượng $4kg$ và phần mép cắt không đáng kể. Số tiền mà khách hàng bỏ ra để mua phần khúc gỗ có thể tích nhỏ hơn là
[Hình cần kiểm tra lại: p1_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B^{\prime }(2;0;2)$, $C^{\prime }(0;2;2)$ thì thể tích khúc gỗ $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=2\cdot 2=4$. Ta có $M(1;0;0)$ (trung điểm $AB$), $N(0;1;2)$ (trung điểm $A^{\prime }{C}^{\prime }$). Mặt phẳng $(B^{\prime }MN)$ qua $B^{\prime }(2;0;2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ tính từ $\vec{n}$... cụ thể $\vec{n}$ là tích có hướng của $\vec{n}$... : $\vec{n}=(2;4;-1)$, phương trình $2x+4y-z=2$ (thỏa cả ba điểm $M,N,B^{\prime }$). Mặt cắt giao các cạnh: với $AC$ ($x=0,z=0$) tại $P(0;\frac{1}{2};0)$; với $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $B^{\prime }$; với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $N$; các giao điểm với $BC,B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },A{A}^{\prime }$ nằm ngoài các cạnh. Vậy phần nhỏ là cụm lăng trụ tam giác với đáy dưới tam giác $AMP$ ($S_1=\frac{1}{4}$), đáy trên tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }N$ ($S_2=1$), chiều cao $h=2$, tiết diện giữa tại $z=1$ có diện tích $S_m=\frac{1}{2}\cdot 1,5\cdot 0,75=\frac{9}{16}$. Theo công thức thể tích cụm lăng trụ: $V_{nhỏ}=\frac{h}{6}(S_1+4S_m+S_2)=\frac{2}{6}\cdot (\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+1)=\frac{7}{6}$. (Kiểm tra lại bằng cách phân tích thành các tứ diện $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }N,AM{B}^{\prime }N,AMNP$ cũng cho $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$.) Tỉ số thể tích: $\frac{7/6}{4}=\frac{7}{24}$; khối lượng phần nhỏ: $4\cdot \frac{7}{24}=\frac{7}{6}$ kg; số tiền: $\frac{7}{6}\cdot 6=7$ triệu đồng. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn.