Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ và $C(0;6;1)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=10$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MC$ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng (Oxy) với MA + MB = 10 > AB = 8, nên M nằm trên elip tâm O với A(4;0), B(-4;0) là hai tiêu điểm: a = 5, c = 4, b² = a² - c² = 9, tức x²/25 + y²/9 = 1. Với M(x;y;0), ta có MC² = x² + (y-6)² + 1. Cần tìm điểm trên elip gần C'(0;6) nhất trong mặt phẳng Oxy. Khoảng cách từ C' đến elip nhỏ nhất đạt tại đỉnh (0;3) (điểm trên cùng của elip), khoảng cách bằng 6 - 3 = 3. Thật vậy, với điểm (x;y) trên elip, x² = 25(1 - y²/9), nên MC² = 25 - 25y²/9 + y² - 12y + 36 + 1 = 62 - 12y - 16y²/9, hàm nghịch biến theo y trên [-3;3], nhỏ nhất tại y = 3: MC² = 62 - 36 - 16 = 10. Vậy MC_min = √10 ≈ 3,16, khớp với đáp án nguồn.