Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm $H$ của $CI$. Biết góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^0$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0,0,0), B(√3,0,0), C(√3/2, 3/2, 0). Trung điểm I của AB là I(√3/2, 0, 0), trung điểm H của CI là H(√3/2, 3/4, 0).

a) AH = √(3/4 + 9/16) = √21/4. H là hình chiếu của S trên (ABC) nên góc giữa SA và (ABC) là góc SAH; tan∠SAH = SH/AH = tan45° = 1 ⇒ SH = AH = √21/4. Đúng.

b) Diện tích đáy = (√3/4)·(√3)² = 3√3/4. V = (1/3)·(3√3/4)·(√21/4) = √63/16 = 3√7/16. Đúng.

c) Hình chiếu của S trên (ABC) là H nên hình chiếu của SA là AH; góc giữa SA và (ABC) là góc SAH, không phải góc SAC (C không nằm trên tia AH). Sai.

d) S(√3/2, 3/4, √21/4). G là trọng tâm tam giác SBC: G((√3/2 + √3 + √3/2)/3, (3/4 + 0 + 3/2)/3, (√21/4)/3) = G(2√3/3, 3/4, √21/12). Vecto: u = AS = (√3/2, 3/4, √21/4), v = CG = (√3/6, −3/4, √21/12), w = AC = (√3/2, 3/2, 0). Tính u×v = (√21/4, 0, −√3/2), |u×v| = √(21/16 + 3/4) = √33/4. w·(u×v) = (√3/2)(√21/4) = 3√7/8. Khoảng cách d(SA, CG) = (3√7/8)/(√33/4) = 3√7/(2√33) = √231/22 ≈ 0,690 ≠ √231/11 ≈ 1,382. Sai.

Kết luận: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai — thống nhất với bảng đáp án mã 102 (1a D, 1b D, 1c S, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
AH = √21/4 và tan∠SAH = SH/AH = 1 nên SH = √21/4.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)·(3√3/4)·(√21/4) = 3√7/16.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SA và (ABC) là góc SAH (H là hình chiếu của S), không phải góc SAC.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
G(2√3/3, 3/4, √21/12). Với u = AS, v = CG, w = AC: u×v = (√21/4, 0, −√3/2), |u×v| = √33/4, w·(u×v) = 3√7/8, nên d(SA, CG) = (3√7/8)/(√33/4) = √231/22 ≈ 0,690, khác √231/11 ≈ 1,382.