Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;1)$, $B(-2;1;0)$, $C(2;-3;1)$. Điểm $S(a;b;c)\in (Oyz)$ sao cho $P=S{A}^2+S{B}^2+3S{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $S\in (Oyz)$ nên $S=(0;b;c)$. Ta có:
$$S{A}^2=1+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2,$$
$$S{B}^2=4+(b-1{)}^2+c^2,$$
$$S{C}^2=4+(b+3{)}^2+(c-1{)}^2.$$
Do đó $P=S{A}^2+S{B}^2+3S{C}^2=17+2(b-1{)}^2+3(b+3{)}^2+4(c-1{)}^2+c^2$.

Tách theo biến $b$: $f(b)=2(b-1{)}^2+3(b+3{)}^2$, đạt min khi $f^{\prime }(b)=4(b-1)+6(b+3)=0\Rightarrow 10b+14=0\Rightarrow b=-\frac{7}{5}$.

Tách theo biến $c$: $g(c)=4(c-1{)}^2+c^2$, đạt min khi $g^{\prime }(c)=8(c-1)+2c=0\Rightarrow 10c=8\Rightarrow c=\frac{4}{5}$.

Vậy $S\left(0;-\frac{7}{5};\frac{4}{5}\right)$ và $T=a+b+c=0-\frac{7}{5}+\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: D).