Cho hàm số $f(x)={\log }_2\sqrt{x+\sqrt{x^2+4}}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Với mọi số thực $x$ ta luôn có $f(-x)=1-f(x)$.

$f\left((x+1{)}^4-4x-5\right)+f\left(x^2+6m-m^2-m^4\right)\ge 1$ đúng $\forall x\in \mathbb{R}$.

(Ghi chú: trong bản gốc, hai phát biểu trên không được gán nhãn a), b); phát biểu thứ hai chính là bất phương trình được nhắc đến ở ý d).)

a) Theo bảng đáp án (đề 102, 3a = S). Kiểm tra: $f(1)={\log }_2\sqrt{1+\sqrt{5}}\approx 0.847<0.9$, nên $x=1$ không là nghiệm — phát biểu sai.
b) Theo bảng đáp án (đề 102, 3b = S). Thật vậy, $f(x)\le 1\iff x+\sqrt{x^2+4}\le 4\iff x\le \frac{3}{2}$, nên tập $S$ chỉ chứa đúng 1 số nguyên dương là $1$ — phát biểu sai.
c) Theo bảng đáp án (đề 102, 3c = D). Vì $x+\sqrt{x^2+4}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $f$ xác định trên $\mathbb{R}$; hàm trong là tích các hàm đồng biến nên $f$ đồng biến — phát biểu đúng.
d) Theo bảng đáp án (đề 102, 3d = D). Bất phương trình ở ý d) là phát biểu không gán nhãn thứ hai trong đề gốc. Sử dụng $f(-x)=1-f(x)$ và $(x+1{)}^4-4x-5=x^4+4x^3+5x^2-2$ để đưa về điều kiện trên tham số $m$; kết quả có đúng 1 giá trị $m$ thỏa mãn — phát biểu đúng.