Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ và $C(0;6;1)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=10$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MC$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB=8$ và $MA+MB=10>8$, tập hợp điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ là elip tâm $O$, tiêu điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ với $2a=10\Rightarrow a=5$, $c=4$, nên $b^2=a^2-c^2=9$. Elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, $z=0$. Hình chiếu của $C(0;6;1)$ lên $(Oxy)$ là $C^{\prime }(0;6;0)$, khi đó $MC=\sqrt{M{C}^{\prime 2}+1}$, nên cần tìm điểm trên elip gần $C^{\prime }$ nhất. Tham số hóa điểm trên elip: $(5\cos t;3\sin t)$. Ta có $M{C}^{\prime 2}=25{\cos }^{2}t+(3\sin t-6{)}^2=61-16{\sin }^{2}t-36\sin t$. Đặt $s=\sin t\in [-1;1]$, hàm $16s^2+36s$ đồng biến trên $[-1;1]$ (đạo hàm $32s+36>0$), đạt max tại $s=1$ với giá trị $52$. Vậy $\min M{C}^{\prime 2}=61-52=9$, tức $\min M{C}^{\prime }=3$ tại điểm $(0;3;0)$. Do đó $\min MC=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Đáp án B.