Cho phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình. Tổng của $M+m$ là

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x-\frac{\pi }{4}$. Phương trình trở thành $\sin t+\sqrt{3}\cos t=\sqrt{2}$, tức $2\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}$, nên $\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $t+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$.
- Trường hợp 1: $t=-\frac{\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$.
- Trường hợp 2: $t=\frac{5\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$.
Nghiệm dương nhỏ nhất: $M=\frac{\pi }{6}$.
Nghiệm âm lớn nhất: so sánh $\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}$ và $\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}$; vì $-\frac{4\pi }{3}>-\frac{11\pi }{6}$ nên $m=-\frac{4\pi }{3}$.
Vậy $M+m=\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi }{3}=-\frac{7\pi }{6}$.