Cho ${\int }_1^{3}f(x)dx=2$ và ${\int }_1^{3}g(x)dx=3$, khi đó ${\int }_1^3[f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x$ là:

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=-3x^2-x+1$ biết $F(8)=-527$.

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=4$ thì ${\int }_0^{1}2f(x)dx$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x^3-9$ là:

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(3;0;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ là:

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-2$ trên $\mathbb{R}$ và có $F(1)=3$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{3}{x}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2z+3=0$.

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó được mô hình hóa thành hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta }_1:\frac{x-2}{5}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-6}{-1}$. Khi đó

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=x^3$ trên $\mathbb{R}$ và $F(2)=1$. Tính $F(0)$.

Người ta quan sát một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng và nhận thấy vận tốc của vật đó tại thời điểm $t$ (giây) phụ thuộc vào công thức $v(t)=-t^2+3t+4$ (mét/giây). Quãng đường vật đi được trong $2$ giây đầu tiên là bao nhiêu mét? *(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*.

Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-4\le x\le 4$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^{\circ }$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{16-x^2}$. Tính thể tích vật thể hình chiếc nêm trên *(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;0),B(1;-1;3)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y+3z-5=0$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có dạng $3x+ay+bz+c=0$. Giá trị của biểu thức $a+2b+3c$ bằng bao nhiêu?

Trong một cuộc diễn tập phòng không, một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $O(0;0;0)$ *(trong không gian $Oxyz$ với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét)* có tầm bắn tối đa là $40\text{ km}$ và tên lửa được phóng ra với vận tốc không đổi $500\text{ m/s}$. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng có vec tơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-4;0)$ với vận tốc không đổi $900\text{ km/h}$. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí $A(-33;12;18)$ thì tên lửa rời bệ phóng, khai hỏa và đã bắn hạ được mục tiêu tại điểm $B$. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? *(Giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều bay theo đường thẳng và không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí)*.

Để trang trí bức tường trong một căn phòng, bạn Hoa vẽ lên tường một hình như sau: Đầu tiên bạn vẽ một hình lục giác đều có cạnh bằng $2\text{ dm}$; sau đó, trên mỗi cạnh của hình lục giác vẽ một cánh hoa hình Parabol đi qua hai đầu mút của cạnh, đỉnh parabol nằm phía ngoài hình lục giác và cách cạnh tương ứng $4\text{ dm}$; cuối cùng bạn vẽ một đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của sáu parabol ở trên (xem hình vẽ).



Bạn Hoa tô màu phần được giới hạn bởi đường tròn và các cánh hoa (phần tô màu trong hình vẽ). Diện tích phần tô màu là bao nhiêu ${\text{dm}}^2$? *(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)*.