Viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$, biết $(H)$ đi qua điểm $M\left(3\sqrt{2};-4\right)$ và có một tiêu điểm là $F_2\left(5;0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tiêu điểm $F_2(5;0)$ nằm trên trục $Ox$, $(H)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2+b^2=c^2=25$. Điểm $M(3\sqrt{2};-4)\in (H)$ nên $\frac{18}{a^2}-\frac{16}{b^2}=1$. Đặt $t=a^2$ ($0<t<25$), khi đó $b^2=25-t$: $\frac{18}{t}-\frac{16}{25-t}=1\Rightarrow 18(25-t)-16t=t(25-t)\Rightarrow t^2-59t+450=0\Rightarrow t=9$ hoặc $t=50$ (loại vì $t<25$). Vậy $a^2=9$, $b^2=16$. Phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$. Kiểm tra: $M$: $\frac{18}{9}-\frac{16}{16}=2-1=1$ đúng; $a^2+b^2=25=c^2$ đúng.