Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với đường cao kẻ từ $A$ và phân giác trong của góc $B$ lần lượt là $d_1:x-2y-2=0,d_2:x-y-1=0$. Biết $M(0;2)$ thuộc đường thẳng $AB$ và $AB=2BC$. Giả sử tam giác ABC có tọa độ đỉnh $C(a;b)$, khi đó $2a+b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B=(t;t-1)$ (thuộc $d_2$). Đường thẳng $AB$ đi qua $M(0;2)$ và $B$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(t;t-3)$, nên $A=M+s\vec{u}=(st;2+s(t-3))$. Vì $A\in d_1$: $st-2[2+s(t-3)]-2=0\iff s(6-t)=6\Rightarrow s=\frac{6}{6-t}$. Phân giác trong tại $B$ là $d_2$, nên $BC$ là phản xạ của $BA$ qua $d_2$: phản xạ của $\vec{u}=(t;t-3)$ qua $d_2$ (pháp tuyến $(1;-1)$) là ${\vec{u}}^{\prime }=(t-3;t)$, do đó $BC=|{\vec{u}}^{\prime }|=\sqrt{t^2+(t-3{)}^2}=MB$. Điều kiện $AB=2BC$: $|s|\cdot MB=2MB\Rightarrow |s|=2$. Trường hợp $s=-2$ cho $t=6$ nhưng khi đó $A$ không thỏa $d_1$ (mâu thuẫn, loại). Vậy $s=2$, $t=3$: $B=(3;2)$, $A=(6;2)$ (kiểm tra $6-4-2=0$ đúng), $AB=6$. Khi đó $C=B+k(0;3)$, $BC=3|k|=3\Rightarrow k=\pm 1$: $C=(3;5)$ hoặc $C=(3;-1)$. Với $C=(3;5)$, tia phân giác trong tại $B$ giữa $\overrightarrow{BA}=(3;0)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;3)$ có phương $(1;1)$, không trùng $d_2$; với $C=(3;-1)$, phân giác trong có phương $(1;-1)$, nằm trên $d_2:x-y-1=0$ (đúng đề bài). Vậy $C=(3;-1)$, tức $a=3,b=-1$, nên $2a+b=6-1=5$. Kết quả khớp đáp án nguồn (5).