Cho bất phương trình $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$ ($m$ là tham số). Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình có nghiệm. $S$ chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$.
- Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm nên $0\in S$.
- Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm khi $\Delta >0$: $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$.
Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8})\cup \{0\}$.
Kiểm tra các khoảng: $(0;1)$ chứa $m=\frac{1}{2}\notin S$; $(-1;0)\subset (-\infty ;\frac{1}{8})\subset S$; $(-2;3)$ chứa $m=1\notin S$; $(1;2)\cap S=\varnothing$.
Vậy $S$ chứa khoảng $(-1;0)$, đáp án B (khớp đáp án nguồn).