Cho tam giác $ABC$ có $AB=1$, $AC=x(x>0)$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Các điểm $M$, $N$ được xác định bởi $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$. Khi đó $AM$ và $CN$ vuông góc với nhau khi $x$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$ với $|\vec{b}|=1$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ với $|\vec{c}|=x$, và $\vec{b}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$.

Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $\vec{c}-\overrightarrow{AM}=-2(\vec{b}-\overrightarrow{AM})\Rightarrow 3\overrightarrow{AM}=2\vec{b}+\vec{c}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$.

Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$: $\vec{b}-\overrightarrow{AN}=-2(0-\overrightarrow{AN})\Rightarrow 3\overrightarrow{AN}=\vec{b}$, tức $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}}{3}$, nên $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\vec{c}=\frac{\vec{b}-3\vec{c}}{3}$.

Điều kiện $AM\perp CN$: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}=0$:
$$(2\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{b}-3\vec{c})=2|\vec{b}{|}^2-6\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}-3|\vec{c}{|}^2=2-5\cdot \frac{x}{2}-3x^2=0.$$
Suy ra $6x^2+5x-4=0$, giải được $x=\frac{-5+\sqrt{25+96}}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ (nhận nghiệm dương).

Vậy $x=\frac{1}{2}$, khớp với đáp án nguồn D.