Câu 12. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$, $AB=AD=\frac{1}{3}CD$. Giao điểm của $AC$ và $BD$ là $E(3;-3)$; điểm $F(5;-9)$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AF=5FB$. Biết rằng đỉnh $A$ có tung độ âm.
a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng $EF$.
b) Chứng minh $AC$ vuông góc $EF$.
c) Tìm tọa độ các đỉnh $A,D$?

(AI giải đề cho tôi)
**a) Phương trình đường thẳng EF.** EF đi qua E(3;−3) và F(5;−9), vectơ chỉ phương $\overrightarrow{EF}=(2;-6)$, có vectơ pháp tuyến $(3;1)$. Vậy $EF:3(x-3)+(y+3)=0\iff 3x+y-6=0$.

**b) Chứng minh AC ⊥ EF.** Vì hình thang vuông tại A và D nên AB ∥ CD. Tam giác EAB đồng dạng ECD (góc đồng vị) với tỉ số $\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$, tức $E=A+\frac{1}{4}(C-A)=B+\frac{1}{4}(D-B)$.
Gọi $\vec{u}$ là vectơ đơn vị cùng hướng AB, $\vec{v}$ là vectơ đơn vị cùng hướng AD, khi đó $\vec{u}\perp \vec{v}$, $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$. Đặt AB = AD = t (t>0), CD = 3t:
- $\overrightarrow{AC}=3t\vec{u}+t\vec{v}$;
- Vì AF = 5FB nên $F=A+\frac{5}{6}t\vec{u}$, do đó $\overrightarrow{FE}=E-F=\frac{3t}{4}\vec{u}+\frac{t}{4}\vec{v}-\frac{5t}{6}\vec{u}=-\frac{t}{12}\vec{u}+\frac{t}{4}\vec{v}$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{FE}=t^2\left(3\cdot (-\frac{1}{12})|\vec{u}{|}^2+\frac{1}{4}|\vec{v}{|}^2\right)=t^2\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=0$ (các số hạng chứa $\vec{u}\cdot \vec{v}$ bằng 0). Vậy $AC\perp EF$.

**c) Tìm A, D.** Từ b), hệ $\{\vec{u},\vec{v}\}$ trực chuẩn. Viết $\vec{u}=(\cos \theta ;\sin \theta )$, $\vec{v}=(-\sin \theta ;\cos \theta )$. Vì AC ⊥ EF nên hệ số góc của AC bằng $\frac{1}{3}$ (EF có hệ số góc −3):
$$\frac{3\sin \theta +\cos \theta }{3\cos \theta -\sin \theta }=\frac{1}{3}\Rightarrow 9\sin \theta +3\cos \theta =3\cos \theta -\sin \theta \Rightarrow \sin \theta =0.$$
Vậy $\vec{u}=(1;0),\vec{v}=(0;1)$ (hoặc $\vec{u}=(-1;0),\vec{v}=(0;-1)$).

Với $\vec{u}=(1;0),\vec{v}=(0;1)$: $A=(a;b)$, $F=(a+\frac{5t}{6};b)=(5;-9)\Rightarrow b=-9$; $E=(a+\frac{3t}{4};b+\frac{t}{4})=(3;-3)\Rightarrow -9+\frac{t}{4}=-3\Rightarrow t=24$, suy ra $a=3-\frac{3\cdot 24}{4}=-15$. Kiểm tra: $a+\frac{5t}{6}=-15+20=5$ ✓. Vậy $A(-15;-9)$ (tung độ âm ✓), $D=A+t\vec{v}=(-15;15)$.

Trường hợp $\vec{u}=(-1;0),\vec{v}=(0;-1)$ cho $t=-24<0$, loại.

Kiểm tra lại: $B=(9;-9)$, $F(5;-9)$ thuộc AB với AF = 20 = 5·FB ✓; $C=(-15+72;15)=(57;15)$, CD = 72 = 3·AB ✓; $E=A+\frac{1}{4}(C-A)=(3;-3)$ ✓.

Kết luận: $A(-15;-9)$, $D(-15;15)$; đường thẳng EF: $3x+y-6=0$; và $AC\perp EF$ như đã chứng minh.