Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,AC=5$, $\widehat{BAC}=60°$ và điểm $M$ bất kỳ. Biểu thức $P=\sqrt{3}MA+MB+MC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A$ tại gốc tọa độ, $B=(3;0)$, $C=\left(\frac{5}{2};\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$ (vì $\widehat{BAC}=60°$). Xét $P=\sqrt{3}MA+MB+MC$ là tổng các hàm lồi (chuẩn của vectơ), nên mỗi cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục.

Xét $M=A$: khi đó $P=\sqrt{3}\cdot 0+AB+AC=3+5=8$.

Kiểm tra $M=A$ thực sự là điểm đạt min: xét đạo hàm theo hướng tại $A$. Theo phương đơn vị $v$ bất kỳ:
- $\sqrt{3}MA$ tăng với tốc độ $\sqrt{3}$.
- $MB+MC$ giảm với tốc độ tối đa bằng $\left|{\vec{u}}_{AB}+{\vec{u}}_{AC}\right|$, trong đó ${\vec{u}}_{AB},{\vec{u}}_{AC}$ là các vectơ đơn vị từ $A$ đến $B,C$. Vì góc giữa chúng bằng $60°$, độ lớn này là $2\cos 30°=\sqrt{3}$, hướng theo phân giác trong của góc $A$.

Vậy đạo hàm theo hướng của $P$ tại $A$ luôn $\ge \sqrt{3}-\sqrt{3}=0$, dấu bằng xảy ra khi đi theo phân giác. Do tính lồi, $P$ không giảm theo mọi hướng từ $A$, tức $P\ge 8$ với mọi $M$.

Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $M$ trên phân giác cách $A$ khoảng $t=0,5$: $M=(0,433;0,25)$, khi đó $MA=0,5$, $MB\approx 2,579$, $MC\approx 4,574$, $P\approx 8,019>8$. Thử các điểm khác cũng cho $P>8$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $8$, đạt được khi $M\equiv A$.