Câu 11. (5,0 điểm) Cho hàm số $y=-x^2+2(m+1)x+1-m^2$ (1), ($m$ là tham số).
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với $m=1$.
b) Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $KAB$ vuông tại $K$, trong đó $K(2;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11.
a) Với $m=1$: $y=-x^2+4x=-(x-2{)}^2+4$.
- Hàm số có $a=-1<0$ nên parabol nhánh hướng xuống, đỉnh $I(2;4)$, trục đối xứng $x=2$.
- Bảng biến thiên: đồng biến trên $(-\infty ;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$, giá trị lớn nhất $y=4$ tại $x=2$; $y\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$.
- Giao điểm với trục hoành: $-x^2+4x=0⟺x=0$ hoặc $x=4$, tức $(P)$ qua $O(0;0)$ và $(4;0)$. Vẽ parabol qua $O(0;0)$, $I(2;4)$, $(4;0)$.
b) Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2+2(m+1)x+1-m^2=0$ với $a=-1$, $b^{\prime }=m+1$, $c=1-m^2$.
${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2+(1-m^2)=2m+2$. Hai điểm phân biệt $A,B$ cần ${\Delta }^{\prime }>0⟺m>-1$.
Khi đó $x_A+x_B=2(m+1)$, $x_A{x}_B=1-m^2$.
$A(x_A;0)$, $B(x_B;0)$, $K(2;-2)$ nên $\overrightarrow{KA}=(x_A-2;2)$, $\overrightarrow{KB}=(x_B-2;2)$.
Tam giác $KAB$ vuông tại $K⟺\overrightarrow{KA}\cdot \overrightarrow{KB}=0$:
$(x_A-2)(x_B-2)+4=0⟺x_A{x}_B-2(x_A+x_B)+8=0$
$⟺1-m^2-4(m+1)+8=0⟺m^2+4m-5=0⟺m=1$ hoặc $m=-5$.
Kết hợp $m>-1$ được $m=1$. Thử lại: $m=1$ cho $y=-x^2+4x$, $A(0;0)$, $B(4;0)$; $\overrightarrow{KA}=(-2;2)$, $\overrightarrow{KB}=(2;2)$, tích vô hướng $-4+4=0$, thỏa mãn.
Vậy $m=1$.