Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(a\sqrt{3};0;0)$, $B\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{3a}{2};0\right)$, $M\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};0;0\right)$. Tâm đáy $O\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy bằng $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a$ nên $SO=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$, suy ra $S\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};a\sqrt{3}\right)$.

Vectơ chỉ phương: ${\vec{u}}_{BM}=\overrightarrow{MB}=(0;1;0)$ (tỉ lệ), ${\vec{u}}_{SC}=\overrightarrow{CS}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};-a\sqrt{3}\right)\propto (\sqrt{3};-1;-2\sqrt{3})$.

Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}={\vec{u}}_{SC}\times {\vec{u}}_{BM}=(2\sqrt{3};0;\sqrt{3})$, $|\vec{n}|=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}$.

Lấy $\vec{w}=\overrightarrow{BS}=\left(0;-a;a\sqrt{3}\right)$, khi đó $\vec{w}\cdot \vec{n}=0+0+3a^2$... chính xác $\vec{w}\cdot \vec{n}=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a^2$.

Khoảng cách giữa $BM$ và $SC$: $d=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{3a^2}{a\sqrt{15}}=\frac{3a}{\sqrt{15}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $\overrightarrow{AB}=(4;0;0)$. Vì $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=6(\cos 120^{\circ };\sin 120^{\circ };0)=(-3;3\sqrt{3};0)$, suy ra $C=(1;3\sqrt{3};0)$, tâm $O=\left(\frac{1}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right)$. Diện tích đáy $=4\cdot 6\sin 60^{\circ }=12\sqrt{3}$, thể tích $12\sqrt{3}\cdot A{A}^{\prime }=36\sqrt{3}\Rightarrow A{A}^{\prime }=3$. Vậy $A^{\prime }=O+(0;0;3)=\left(\frac{1}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};3\right)$, $C^{\prime }=(1;3\sqrt{3};3)$.

Đường thẳng $A{C}^{\prime }$: điểm $A$, vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1;3\sqrt{3};3)$. Đường thẳng $A^{\prime }B$: điểm $A^{\prime }$, vectơ $\vec{v}=\overrightarrow{A^{\prime }B}=\left(\frac{7}{2};-\frac{3\sqrt{3}}{2};-3\right)$. Đặt $\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\left(\frac{1}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};3\right)$.

$\vec{u}\times \vec{v}=\left(-\frac{9\sqrt{3}}{2};\frac{27}{2};-12\sqrt{3}\right)$, nên $\left|\vec{u}\times \vec{v}\right|=\sqrt{\frac{243}{4}+\frac{729}{4}+432}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}$.

$\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=-\frac{9\sqrt{3}}{4}+\frac{81\sqrt{3}}{4}-36\sqrt{3}=-18\sqrt{3}$.

Khoảng cách $d(A{C}^{\prime },A^{\prime }B)=\frac{\left|\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})\right|}{\left|\vec{u}\times \vec{v}\right|}=\frac{18\sqrt{3}}{15\sqrt{3}}=\frac{6}{5}$. Vậy $m=d^2=\frac{36}{25}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),O(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0),S(0;0;h)$.

**Tìm $h$ từ góc $SBD=60^{\circ }$:** Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$; vì $ABCD$ là hình vuông nên $H\equiv O$ (chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đường chéo). Khi đó $AH\perp BD\Rightarrow SH\perp BD$, tam giác $SHB$ vuông tại $H$ với $AH=HB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$$\tan \widehat{SBD}=\frac{SH}{HB}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{6}}{2}$$
$$h^2=S{H}^2-A{H}^2=\frac{6a^2}{4}-\frac{2a^2}{4}=a^2\Rightarrow h=a.$$

**Tính khoảng cách giữa $AB$ và $SO$:**
${\vec{u}}_{AB}=(1;0;0)$, ${\vec{u}}_{SO}=\overrightarrow{OS}=(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\vec{w}=\overrightarrow{AS}=(0;0;a)$.
$$\vec{w}\times {\vec{u}}_{SO}=\left(-\frac{a^2}{2};\frac{a^2}{2};0\right),{\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SO}=(0;a;0),\left|{\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SO}\right|=a.$$
$$d(AB,SO)=\frac{\left|{\vec{u}}_{AB}\cdot (\vec{w}\times {\vec{u}}_{SO})\right|}{|{\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SO}|}=\frac{a^2/2}{a}=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+1/4}}\text{(theo coˆng thức tổng quaˊt }\frac{ah}{\sqrt{h^2+a^2/4}})$$
Cụ thể với $h=a$: $d=\frac{a\cdot a/2}{\sqrt{a^2+a^2/4}}=\frac{a^2/2}{a\sqrt{5}/2}=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Vậy đáp án là $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(1;\sqrt{3};0)$. Trung điểm $I(1;0;0)$, hình chiếu của $S$ là trung điểm $CI$: $H(1;\frac{\sqrt{3}}{2};0)$. Vì góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $45^{\circ }$ nên $SH=AH\cdot \tan 45^{\circ }$, với $AH=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$, suy ra $S(1;\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{7}}{2})$. Trọng tâm $G$ của tam giác $SBC$: $G(\frac{4}{3};\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{7}}{6})$.

Vector chỉ phương: ${\vec{u}}_{SA}=(1;\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{7}}{2})$, ${\vec{v}}_{CG}=\overrightarrow{CG}=(\frac{1}{3};-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{7}}{6})$, $\vec{w}=\overrightarrow{AC}=(1;\sqrt{3};0)$.

Tính $\vec{u}\times \vec{v}=(\frac{\sqrt{21}}{3};0;-\frac{2\sqrt{3}}{3})$, nên $|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{1}{3}\sqrt{21+12}=\frac{\sqrt{33}}{3}$.

$(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w}=\frac{\sqrt{21}}{3}$.

Khoảng cách: $d(SA,CG)=\frac{\sqrt{21}/3}{\sqrt{33}/3}=\sqrt{\frac{7}{11}}\approx 0,798$.

Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(5;0;0)$, $C=\left(\frac{5}{2};\frac{5\sqrt{3}}{2};0\right)$ (vì $BA=BC=5$), $S=(0;0;s)$ do $SA\perp (ABC)$.

Góc giữa $(SAC)$ và $(SBC)$: pháp tuyến của $(SAC)$ là ${\vec{n}}_1\parallel (\sqrt{3};-1;0)$, pháp tuyến của $(SBC)$ là ${\vec{n}}_2\parallel (\sqrt{3}s;s;5\sqrt{3})$. Khi đó
$$\cos 60^{\circ }=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{s}{\sqrt{4s^2+75}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 16s^2=4s^2+75\Rightarrow s=\frac{5}{2}.$$
Vậy $S=(0;0;2,5)$.

Đường cao $AH$ của tam giác $SAB$: chân $H$ trên $SB$, tính được $H=(1;0;2)$, nên đường thẳng $AH$ có vtcp $\vec{v}=(1;0;2)$. Đường thẳng $SC$ có vtcp $\vec{u}\parallel (1;\sqrt{3};-1)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SC$ và $AH$ (với $\vec{w}=\overrightarrow{AS}=(0;0;2,5)$):
$$\vec{u}\times \vec{v}=(2\sqrt{3};-3;-\sqrt{3}),|\vec{u}\times \vec{v}|=2\sqrt{6},$$
$$d(SC,AH)=\frac{|\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}=\frac{2,5\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{2}}{8}.$$

Với khối tứ diện đều cạnh $a$, hai cạnh đối nằm trên hai đường chéo nhau có khoảng cách $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Do đó
$$\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{8}\Rightarrow a=\frac{5}{4}=1,25\text{ cm}.$$

Thể tích viên kim cương (tứ diện đều cạnh $a$):
$$V=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}=\frac{(1,25{)}^3}{6\sqrt{2}}=\frac{125/64}{6\sqrt{2}}\approx 0,2302\approx 0,23{\text{ cm}}^3.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(20;0;0)$, $D(0;20;0)$, $D^{\prime }(0;20;20)$.

Kiến vàng đi trên $A{D}^{\prime }$ (dài $20\sqrt{3}$) với vận tốc 2 cm/s: $V(t)=\left(0;\frac{2t}{\sqrt{3}};\frac{2t}{\sqrt{3}}\right)$, $0\le t\le 10\sqrt{3}$.

Kiến đen đi trên $DB$ (dài $20\sqrt{2}$) với vận tốc 3 cm/s: $K(t)=\left(\frac{3t}{\sqrt{2}};20-\frac{3t}{\sqrt{2}};0\right)$, $0\le t\le \frac{20\sqrt{2}}{3}\approx 9,43$ s.

Bình phương khoảng cách:
$$f(t)=\frac{9t^2}{2}+\frac{4t^2}{3}+{\left(20-t\left(\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\right)}^2.$$
Với $a=\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 3,27606$, $a^2\approx 10,73231$:
$$f(t)=\left(\frac{35}{6}+a^2\right)t^2-40at+400=16,56565t^2-131,0424t+400.$$

Nghiệm nhỏ nhất: $t^{\ast }=\frac{131,0424}{2\cdot 16,56565}\approx 3,955$ s, thuộc cả hai khoảng chuyển động (kiểm tra: $3,955<9,43$ và $<10\sqrt{3}$).

Giá trị nhỏ nhất: $f(t^{\ast })=400-\frac{(40a{)}^2}{4\cdot 16,56565}\approx 140,83$, nên khoảng cách ngắn nhất $\sqrt{140,83}\approx 11,87$ cm.

Kết quả làm tròn đến hàng phần chục: $11,9$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay là đường thẳng qua $A(0;10;0)$, $B(20;0;10)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(20;-10;10)$, $\overrightarrow{AM}=(40;10;40)$. Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $AB$ là $d=\frac{|\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$. Tính tích có hướng: $\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AB}=(500;400;-600)$. Độ lớn: $\sqrt{500^2+400^2+600^2}=\sqrt{770000}=100\sqrt{77}$. Còn $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{400+100+100}=\sqrt{600}=10\sqrt{6}$. Vậy $d=\frac{100\sqrt{77}}{10\sqrt{6}}=\frac{10\sqrt{462}}{6}=\frac{5\sqrt{462}}{3}\approx 35,82$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay là đường thẳng AB với $\overrightarrow{AB}=(20;-10;10)$, $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OM}=(40;0;40)$. Khoảng cách từ M đến đường thẳng AB: $d(M,AB)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}]|}{|\overrightarrow{AB}|}$. Tính $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}]=(-400;-400;400)$, độ dài $=400\sqrt{3}$. $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{20^2+(-10{)}^2+10^2}=\sqrt{600}=10\sqrt{6}$. Vậy $d=\frac{400\sqrt{3}}{10\sqrt{6}}=\frac{40}{\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\approx 28,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;3a;0)$, $C(2a;a;0)$, $S(0;0;h)$.

Mặt phẳng $(SCD)$ qua $S(0;0;h)$, $C(2a;a;0)$, $D(0;3a;0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2ah;2ah;6a^2)$, tức phương trình $hx+hy+3az=3ah$. Khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$: $\frac{3ah}{\sqrt{2h^2+9a^2}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}a\Rightarrow 16h^2=6(2h^2+9a^2)\Rightarrow h^2=\frac{27a^2}{2}$.

Khoảng cách giữa $AB$ (phương $(1;0;0)$) và $SD$ (phương $(0;3a;-h)$): vectơ pháp tuyến chung ${\vec{n}}_0=(0;h;3a)$, lấy điểm $A$ trên $AB$ và $S$ trên $SD$: $d=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot {\vec{n}}_0|}{|{\vec{n}}_0|}=\frac{3ah}{\sqrt{h^2+9a^2}}=\frac{3a\cdot \frac{3a\sqrt{6}}{2}}{\frac{3a\sqrt{10}}{2}}=\frac{3\sqrt{15}}{5}a$.

Vậy $b=5$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;3a;0)$, $C(2a;a;0)$, $S(0;0;h)$.

Tìm $h$ từ khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$:
$\overrightarrow{SC}=(2a;a;-h)$, $\overrightarrow{SD}=(0;3a;-h)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{SD}=(2ah;2ah;6a^2)$.
Mặt phẳng $(SCD)$: $2ahx+2ahy+6a^{2}z=6a^{2}h$.
$d(A,(SCD))=\frac{6a^{2}h}{\sqrt{4a^2{h}^2+4a^2{h}^2+36a^4}}=\frac{3ah}{\sqrt{2h^2+9a^2}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}a$.
Suy ra $\frac{h}{\sqrt{2h^2+9a^2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}\Rightarrow 16h^2=12h^2+54a^2\Rightarrow h^2=\frac{27a^2}{2}$.

Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$:
$\overrightarrow{u_1}=(2a;0;0)$, $\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{SD}=(0;3a;-h)$, $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0;2ah;6a^2)$, $\overrightarrow{AS}=(0;0;h)$.
$d(AB,SD)=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})|}{|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}|}=\frac{6a^{2}h}{2a\sqrt{h^2+9a^2}}=\frac{3ah}{\sqrt{h^2+9a^2}}$.
Thay $h^2=\frac{27a^2}{2}$: $\sqrt{h^2+9a^2}=\sqrt{\frac{45a^2}{2}}=\frac{3a\sqrt{10}}{2}$.
$d=\frac{3a\cdot \frac{3\sqrt{6}a}{2}}{\frac{3a\sqrt{10}}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{10}}a=\frac{3\sqrt{15}}{5}a$.
Vậy $b=5$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình d: x/2 = y/1 = z/(-1), một véc-tơ chỉ phương là u = (2;1;-1). b) Đúng: d' có véc-tơ chỉ phương (3;3;9), rút gọn cho (1;1;3) nên u' = (1;1;3) là một véc-tơ chỉ phương của d'. c) Sai: thay M(1;1;1) vào d ta được 1/2 = 1/1 = 1/(-1), vô lý, nên M không thuộc d. d) Sai: cos(u,u') = |2·1 + 1·1 + (-1)·3| / (√6·√11) = |6+3-9|/√66 = 0, nên góc giữa d và d' là 90°, không phải 45°.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình d: x/2 = y/1 = z/(-1) ta đọc được véc-tơ chỉ phương u = (2;1;-1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ chỉ phương của d' là (3;3;9) = 3(1;1;3), nên u' = (1;1;3) cũng là một véc-tơ chỉ phương của d'.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;1;1) vào d: 1/2 ≠ 1/1 ≠ 1/(-1), nên M không thuộc d.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(u,u') = |2+1-3|/(√6·√11) = 0 nên góc giữa hai đường thẳng là 90°, không phải 45°.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ chỉ phương của Δ₂ là u₂=(−1;−2;2), không cùng phương với (1;2;3) nên sai. b) Thay A(4;5;6) vào Δ₁: (4−1)/2=3/2 ≠ (5−2)/1=3 nên A không thuộc Δ₁, sai. c) cos(Δ₁,Δ₂)=|2·(−1)+1·(−2)+(−2)·2|/(3·3)=8/9, góc ≈ 27,27° ≈ 27°, đúng. d) (P) qua B(1;3;3) và chứa Δ₁ (điểm (1;2;3), chỉ phương u₁=(2;1;−2)). VTCP của vectơ trong mặt phẳng: B−(1;2;3)=(0;1;0). Pháp tuyến n=(0;1;0)×(2;1;−2)=(−2;0;−2). (P): −2(x−1)−2(z−3)=0 ⇔ x+z−4=0. d(O,(P))=|−4|/√2=2√2, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ₂ là (−1;−2;2), không cùng phương với (1;2;3) vì 1/(−1)≠3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;5;6): (4−1)/2=3/2, (5−2)/1=3, (6−3)/(−2)=−3/2, không bằng nhau nên A∉Δ₁.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos góc = |2(−1)+1(−2)+(−2)(2)|/(√9·√9)=8/9, góc ≈ 27,27° ≈ 27°.
d) (AI giải đề cho tôi)
(P) chứa Δ₁ và B(1;3;3): n=(0;1;0)×(2;1;−2)=(−2;0;−2), (P): x+z−4=0, d(O,(P))=4/√2=2√2.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của $a$: $\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{MN}=(-1;2;-2)$, $|\overrightarrow{u_a}|=3$. Vecto chỉ phương của $b$: $\overrightarrow{u_b}=\overrightarrow{PQ}=(2;3;6)$, $|\overrightarrow{u_b}|=7$. $\cos (a,b)=\frac{|-1\cdot 2+2\cdot 3+(-2)\cdot 6|}{3\cdot 7}=\frac{|-2+6-12|}{21}=\frac{8}{21}\approx 0.3810$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $\approx 67.6^{\circ }$, làm tròn đến hàng đơn vị là $68^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;\sqrt{2})$, đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(1;-1;\sqrt{2})$.

Tính:
$$\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=1\cdot 1+1\cdot (-1)+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1-1+2=2.$$
$$|\vec{u}|=\sqrt{1+1+2}=2,|\overrightarrow{u^{\prime }}|=\sqrt{1+1+2}=2.$$

Suy ra:
$$\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}.$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng là $60^{\circ }$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;-m;-3)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;1;1)$. Để $d_1\perp d_2$ thì $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0\iff 2-m-3=0\iff m=-1$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương: $\overrightarrow{u_1}=(1;-\sqrt{2};1)$, $\overrightarrow{u_2}=(1;\sqrt{2};m)$. Với góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }$: $\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1-2+m|}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{2+1+m^2}}=\frac{|m-1|}{2\sqrt{m^2+3}}=\frac{1}{2}$. Suy ra $(m-1{)}^2=m^2+3\iff m^2-2m+1=m^2+3\iff -2m=2\iff m=-1$. Thử lại: với $m=-1$, $\overrightarrow{u_2}=(1;\sqrt{2};-1)$, $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1-2-1=-2$, $\cos =\frac{2}{2\cdot \sqrt{4}}=\frac{1}{2}$, góc $=60^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(2a;2a;0)$. Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $S$ thuộc mặt phẳng qua $AB$ vuông góc với đáy, tức $S(x;0;h)$. Từ $SA=a$, $SB=a\sqrt{3}$: $x^2+h^2=a^2$ và $(x-2a{)}^2+h^2=3a^2$. Trừ hai phương trình: $-4ax+4a^2=2a^2\Rightarrow x=\frac{a}{2}$, $h^2=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $S\left(\frac{a}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Trung điểm $M(a;0;0)$, $N(2a;a;0)$. Ta có $\overrightarrow{SM}=\left(\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $|\overrightarrow{SM}|=a$; $\overrightarrow{DN}=(2a;-a;0)$, $|\overrightarrow{DN}|=a\sqrt{5}$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{DN}=\frac{a}{2}\cdot 2a=a^2$. Do đó $\cos (SM,DN)=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}$ đi qua điểm $(1;3;2)$ và có VTCP ${\vec{u}}_d=(1;-1;2)$.
a) Thay $M(1;3;2)$: $\frac{1-1}{1}=\frac{3-3}{-1}=\frac{2-2}{2}=0$ → $M\in d$. Đúng.
b) VTCP của $d$ là $(1;-1;2)$, không phải $(1;3;2)$. Sai.
c) $\Delta$ có VTCP $(1;-1;2)$ cùng phương với $d$ và đi qua $(1;3;2)\in d$, nên $\Delta \equiv d$ (trùng nhau), không song song. Sai.
d) $d^{\prime }$ có VTCP ${\vec{u}}_{d^{\prime }}=(-3;1;-3)$ không cùng phương với ${\vec{u}}_d$. Giải hệ: $d:(1+s;3-s;2+2s)=d^{\prime }:(-3t;t;-1-3t)$. Từ $y$: $t=3-s$; từ $x$: $1+s=-3(3-s)\Rightarrow s=5,t=-2$; kiểm tra $z$: $2+2\cdot 5=12\ne -1-3(-2)=5$ → vô nghiệm, hai đường không cắt và không song song → chéo nhau. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $M(1;3;2)$ vào phương trình $d$ đều thỏa (bằng 0), nên $M\in d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d$ là $\vec{u}(1;-1;2)$, không phải $\vec{u}(1;3;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ có VTCP $(1;-1;2)$ cùng phương với $d$ và đi qua $(1;3;2)\in d$ nên $\Delta$ trùng với $d$, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTCP $(-3;1;-3)$ không cùng phương với $(1;-1;2)$; hệ phương trình tham số vô nghiệm (sai ở phương trình $z$), hai đường không cắt, không song song nên chéo nhau.