Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, cạnh $AB=4,BC=6$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $O$. Cho biết thể tích của khối hộp bằng $36\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ bằng $\sqrt{m}$. Tìm giá trị của $m$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $SBD=60^0$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của $CI$, góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CG$ (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)?

Trong một triển lãm thời trang, một viên kim cương có tên là "Bốn mùa bên em" được đặt trên một giá đỡ. Biết rằng giá đỡ là một hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ nằm trên mặt bàn và $BA=BC$, $SA$ vuông góc với mặt bàn. Viên kim cương có hình dạng là một khối tứ diện đều có hai cạnh đối lần lượt nằm trên hai đường thẳng chứa cạnh $SC$ và đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Biết $AB=5$ cm, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC),(SBC)$ bằng $60^{\circ }$. Hỏi thể tích của viên kim cương bằng bao nhiêu cm${}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình lập phương $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 20 cm. Hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí $A$ và $D$, kiến vàng đi từ $A$ đến $D^{\prime }$ với vận tốc 2cm/s và kiến đen đi từ $D$ đến $B$ với vận tốc 3cm/s. Hỏi khoảng cách ngắn giữa hai chú kiến là bao nhiêu cm. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ biết $AB=2a,AD=3BC=3a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\frac{3\sqrt{6}}{4}a$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\frac{3\sqrt{15}}{b}a$. Tính giá trị của b?

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ biết $AB=2a,AD=3BC=3a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\frac{3\sqrt{6}}{4}a$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\frac{3\sqrt{15}}{b}a$. Tính giá trị của b?

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A^{\prime }C$, điểm cuối thuộc cạnh $BC$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 4,5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Trong không gian $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$, thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm $M(1;-2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Khi đó côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD,BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\frac{2a\sqrt{m}}{n}$. Tính $m-n$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD,BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\frac{2a\sqrt{m}}{n}$. Tính $m-n$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $A{A}^{\prime }=2a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Lấy $H$, $K$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $BH=3HA$, $AK=3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, cosin của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{n\sqrt{39}}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=2m-n=31$.
b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
c) $SH=\sqrt{3}$.
d) Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ bằng $\frac{4\sqrt{57}}{19}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ $AB$ đến $SC$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{Z}}^{+})$; $(\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính tổng $a+b$?

Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo lấy theo kilômét, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ $A(0;35;10)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_1}=(3;4;0)$ với tốc độ không đổi $900(\text{ km/h})$ và máy bay thứ hai ở tọa độ $B(31;10;11)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_2}=(5;12;0)$ với tốc độ không đổi $910(\text{ km/h})$. Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 9,3 km). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay bị phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?