Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-3$ và ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=4$. Khi đó ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Biết rằng ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=-4$. Giá trị của ${\int }_0^2\left[3x-2f(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x),g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Mệnh đề nào dưới đây SAI:

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{khi }-3\le x\le -1\\ x^2& \text{khi }x\ge -1\end{array}$. Khi đó, ${\int }_{-3}^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào sau đây?

Thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và các đường thẳng $x=a,x=b,(a<b)$ quay quanh trục $Ox$ được tính theo công thức:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, $y=2x$ khi quay quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào dưới đây?

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f2]

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}$.

Cho $F(x);G(x)$ lần lượt là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\sqrt{x}+8$; $g(x)=5^x-e^x$.

Cho đồ thị như hình vẽ

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v(t)=2,01t-0,025t^2(0\le t\le 10)$. Trong đó $v(t)$ tính theo m/s, thời gian $t$ tính theo s với $t=0$ là thời điểm xe xuất phát.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-2x+m& \text{khi }x\ge 1\\ 1-4x& \text{khi }x<1\end{array}$ ($m$ là tham số thực) liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ là $F(x)$ thỏa mãn $F(-2)=-6$.

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$.

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$.

Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường Parabol như hình vẽ. Biết rằng sau 15s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 60 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài 9 dm và chiều rộng 5 dm, người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét), sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí 20000 đồng/dm²; phần còn lại sơn màu trắng với chi phí 10000 đồng/dm².



Số tiền cần dùng để trang trí bảng gỗ trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng)

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;0;0),B(0;1;0),C(0;0;-2)$. Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;3)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $(d):\frac{x-3}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{-6}$. Một vecto chỉ phương của $(d)$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(1;-2;3)$ và có một vecto chỉ phương $\vec{u}=(0;-1;2)$ là

Trong không gian $Oxyz$, gọi $M(a;b;c)$ là giao điểm của đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z-2=0$. Giá trị của $a-2b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=0\end{array}$. Biết rằng đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Độ dài của đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục $Ox$ và đi qua hai điểm $A(3;1;0),B(5;5;0)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$. Phương trình của mặt phẳng đi qua $M(2;1;0)$ và chứa đường thẳng $d$ là

Trong không gian $Oxyz$, hãy tính số đo góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P):x+2y-z+2=0$ và $(Q):2x-y-z+4=0$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(Oxz)$ và $(P):x-y+1=0$. Tính $\alpha$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{3}$, $d_2:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$; $d_3:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}$. Phương trình của đường thẳng song song với $d_1$ và cắt cả hai đường thẳng $d_2$ và $d_3$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;2;0)$, $B(1;3;-2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+2y+3z-6=0$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;1;1)$, $B(5;2;3)$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (xem hình vẽ) được đặt ở vị trí $I(25;30;50)$. Mặt cầu $(S)$ mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng $R=5$ km.

Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ vị trí $A(1;2;3)$ hướng đến vị trí $B(0;1;-6)$, bia chắn là mặt phẳng $(P):4x-y+2z+13=0$, đơn vị là kilomet.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;6;-7),B(3;2;1)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là $ax+by+cz+18=0$. Tính $a-4b+3c$.

Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo lấy theo kilômét, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ $A(0;35;10)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_1}=(3;4;0)$ với tốc độ không đổi $900(\text{ km/h})$ và máy bay thứ hai ở tọa độ $B(31;10;11)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_2}=(5;12;0)$ với tốc độ không đổi $910(\text{ km/h})$. Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 9,3 km). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay bị phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tại một phạm vi hẹp, $(Oxy)$ là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(1;2;1)$. Hỏi đường ống nói trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng ngang)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+t\\ z=1+3t\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{-2}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và song song với đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có phương trình là $8x+by+cz+d=0$. Tính $b+c+d$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, biết mặt phẳng $(P):ax+by+cz-1=0$ với $b<0$ đi qua hai điểm $A(0;0;1),B(1;0;0)$ và tạo với mặt phẳng $(Oxz)$ một góc $45^{\circ }$. Tính $a+b+2c$.

Tìm: a) $\int \left(x^2-5^x-\sin x-\ln x\right)dx$. b) $\int {\left(2x-\frac{1}{2x}\right)}^{2}dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới:



Biết rằng các diện tích $S_1$, $S_2$ thỏa mãn $S_1=2,S_2=3$. Tính $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f(x)dx$.

Cho đồ thị như hình vẽ



a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{2x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=4-x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=2,x=4$.

c) Tính diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=\sqrt{2x}$, $y=4-x$ và trục hoành $Ox$ (như hình vẽ).

Cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1};d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-5}{4}$. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm $M(0;-1;0)$ và $N(3;4;5)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm $N(3;4;5)$ và vuông góc với mặt phẳng có phương trình $2x+2y+3z-12=0$.

Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(1;2;3),B(3;0;5)$.

Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40 cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Tính thể tích của thùng Bia hơi. (làm tròn đến hàng phần chục).