Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;0;-1)$ và chứa trục $Ox$ có phương trình là

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+1$ thoả mãn $F(1)=1$. Khi đó

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0004x+9,3$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là

Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$, xung quanh trục $Ox$.

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x-4\sin x$ là:

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $v(t)=5+3t(m/s)$, với $t$ là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 32 giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi $s(t)$ là quãng đường máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-2}{2}$ và mặt phẳng $(P):x-2y-z+9=0$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& \text{khi }x\ge 2\\ x-2& \text{khi }x<2\end{array}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Cho vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $x=-1;x=1$. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(-1\le x\le 1)$ cắt vật thể $(T)$ theo mặt cắt là một hình vuông có cạnh bằng $2\sqrt{1-x^2}$.

Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x+1}$ và thỏa mãn $F(0)=\frac{e}{3}$. Giá trị của ${\ln }^3\left[3F(1)\right]$ bằng bao nhiêu?

Cho $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ và $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=-1$. Tính tích phân $I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[x+2f(x)-3g(x)\right]\mathrm{d}x$.

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật (trục này vuông góc với chiều rộng) và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{-1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-4}{3}$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với $(P)$ và song song với $d$.