Nguyên hàm của hàm $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ $(x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$ là

Cho $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=-2$, khi đó $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}5f(x)dx$ bằng

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[0;3]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho $f(x),g(x)$ là hai hàm số xác định và liên tục trên tập $K$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=3x-2$, $y=x^2$, $x=-1$, $x=3$ được tính bởi

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn $[a;b]$. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ có thể tích là

(1,0 điểm) Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)$.

(1,0 điểm)

Cho hàm số $f(x)=8x^3-3$. Gọi hàm số $F(x)=a{x}^b+cx+d$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa $F(0)=-5$. Tính $a+b+c+d$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;5]$ và có đồ thị như hình vẽ. Tích phân $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(\sqrt{25-x^2}+3f(x)\right)dx=\frac{a}{b}\pi +c$ (với $a,b,c\in \mathbb{Z}$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b+c$.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{2}{\cos x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$, $x=\frac{\pi }{4}$ quanh trục hoành bằng $m\pi$ (với $m\in \mathbb{Z}$). Tính $m$.

Trong chuyến du xuân đầu năm, bạn An có mua một số đồ lưu niệm. Về nhà bạn An lấy ra một món đồ khá quen thuộc và dự định tính thể tích của nó. Món đồ bạn An lấy ra dự định tính bằng thủy tinh cẩn đối dính liền nhau gồm 2 phần: phần trên là khối chỏm cầu và phần đế là khối trụ. Biết phần khối trụ có chiều cao 9 cm, đường kính đáy 5,4 cm; khối chỏm cầu là một phần của khối cầu chứa đường tròn lớn của khối cầu và chu vi đường tròn lớn bằng $9\pi$ cm, hình tròn thiết diện của khối chỏm cầu và mặt đáy của khối trụ có đường kính 5 cm (như hình vẽ). Em hãy giúp bạn An tính thể tích đồ lưu niệm này (đơn vị $c{m}^3$, không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

a) Tìm $\int \left(\cos x-3^x\right)dx$.

b) Tính $\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\frac{2}{x}dx$.

Một gia đình sản xuất chiếu cói ở Nga Sơn – Thanh Hóa mỗi ngày sản xuất được $x$ chiếc chiếu với hàm chi phí là $C(x),(0\le x\le 20)$. Chi phí biên để sản xuất $x$ chiếc chiếu (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số $C^{\prime }(x)=3x^2-4x+10$. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng.
a/ Tính chi phí để gia đình này sản xuất 15 chiếc chiếu mỗi ngày.
b/ Giả sử gia đình này bán hết chiếu mỗi ngày với giá 270 nghìn đồng / chiếc chiếu. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2x^2$, $y=\frac{2}{x}$, $x=4$, trục hoành.