Cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1};d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-5}{4}$. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(2;-2;1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(1;3;4)$.

Ta có:
$$\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=2\cdot 1+(-2)\cdot 3+1\cdot 4=2-6+4=0.$$

Vì $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$ nên hai vectơ chỉ phương vuông góc với nhau. Do đó góc giữa hai đường thẳng là:
$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=0\Rightarrow (d_1,d_2)=90^{\circ }.$$

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc với nhau).