Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-2x+m& \text{khi }x\ge 1\\ 1-4x& \text{khi }x<1\end{array}$ ($m$ là tham số thực) liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ là $F(x)$ thỏa mãn $F(-2)=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=1: 3-2+m = 1-4 = -3 nên m = -4 (a đúng). Với x<1: F(x)=x-2x²+C, F(-2)=-2-8+C=-6 cho C=4, nên F(x)=x-2x²+4 khi x<1, F(1⁻)=3. Với x≥1: F(x)=x³-x²-4x+C', F(1)=C'=3, nên F(x)=x³-x²-4x+3 (không phải +7, b sai). ∫₋₁⁵ f = ∫₋₁¹(1-4x)dx + ∫₁⁵(3x²-2x-4)dx = 2 + 84 = 86 ≠ 108 (c sai). Đổi biến t=ln x: ∫₁^{e²} f(ln x)dx/x = ∫₀² f(t)dt = ∫₀¹(1-4t)dt + ∫₁²(3t²-2t-4)dt = -1 + 0 = -1 ≠ 3 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
f liên tục tại x=1: 3(1)-2(1)+m = 1-4(1) = -3, suy ra m = -4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x<1: F(x)=x-2x²+C, F(-2)=-6 cho C=4 nên F(x)=x-2x²+4, F(1⁻)=3. Với x≥1: F(x)=x³-x²-4x+C', F(1)=C'=3 nên hằng số phải là 3, không phải 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₋₁¹(1-4x)dx = 2; ∫₁⁵(3x²-2x-4)dx = [x³-x²-4x]₁⁵ = 80-(-4) = 84. Tổng bằng 86 ≠ 108.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt t=ln x, t chạy từ 0 đến 2: ∫₀² f(t)dt = ∫₀¹(1-4t)dt + ∫₁²(3t²-2t-4)dt = -1 + 0 = -1 ≠ 3.