Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình d: x/2 = y/1 = z/(-1), một véc-tơ chỉ phương là u = (2;1;-1). b) Đúng: d' có véc-tơ chỉ phương (3;3;9), rút gọn cho (1;1;3) nên u' = (1;1;3) là một véc-tơ chỉ phương của d'. c) Sai: thay M(1;1;1) vào d ta được 1/2 = 1/1 = 1/(-1), vô lý, nên M không thuộc d. d) Sai: cos(u,u') = |2·1 + 1·1 + (-1)·3| / (√6·√11) = |6+3-9|/√66 = 0, nên góc giữa d và d' là 90°, không phải 45°.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình d: x/2 = y/1 = z/(-1) ta đọc được véc-tơ chỉ phương u = (2;1;-1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ chỉ phương của d' là (3;3;9) = 3(1;1;3), nên u' = (1;1;3) cũng là một véc-tơ chỉ phương của d'.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;1;1) vào d: 1/2 ≠ 1/1 ≠ 1/(-1), nên M không thuộc d.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(u,u') = |2+1-3|/(√6·√11) = 0 nên góc giữa hai đường thẳng là 90°, không phải 45°.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;\sqrt{2})$, đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(1;-1;\sqrt{2})$.

Tính:
$$\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=1\cdot 1+1\cdot (-1)+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1-1+2=2.$$
$$|\vec{u}|=\sqrt{1+1+2}=2,|\overrightarrow{u^{\prime }}|=\sqrt{1+1+2}=2.$$

Suy ra:
$$\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}.$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng là $60^{\circ }$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;-m;-3)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;1;1)$. Để $d_1\perp d_2$ thì $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0\iff 2-m-3=0\iff m=-1$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương: $\overrightarrow{u_1}=(1;-\sqrt{2};1)$, $\overrightarrow{u_2}=(1;\sqrt{2};m)$. Với góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }$: $\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1-2+m|}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{2+1+m^2}}=\frac{|m-1|}{2\sqrt{m^2+3}}=\frac{1}{2}$. Suy ra $(m-1{)}^2=m^2+3\iff m^2-2m+1=m^2+3\iff -2m=2\iff m=-1$. Thử lại: với $m=-1$, $\overrightarrow{u_2}=(1;\sqrt{2};-1)$, $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1-2-1=-2$, $\cos =\frac{2}{2\cdot \sqrt{4}}=\frac{1}{2}$, góc $=60^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}$ đi qua điểm $(1;3;2)$ và có VTCP ${\vec{u}}_d=(1;-1;2)$.
a) Thay $M(1;3;2)$: $\frac{1-1}{1}=\frac{3-3}{-1}=\frac{2-2}{2}=0$ → $M\in d$. Đúng.
b) VTCP của $d$ là $(1;-1;2)$, không phải $(1;3;2)$. Sai.
c) $\Delta$ có VTCP $(1;-1;2)$ cùng phương với $d$ và đi qua $(1;3;2)\in d$, nên $\Delta \equiv d$ (trùng nhau), không song song. Sai.
d) $d^{\prime }$ có VTCP ${\vec{u}}_{d^{\prime }}=(-3;1;-3)$ không cùng phương với ${\vec{u}}_d$. Giải hệ: $d:(1+s;3-s;2+2s)=d^{\prime }:(-3t;t;-1-3t)$. Từ $y$: $t=3-s$; từ $x$: $1+s=-3(3-s)\Rightarrow s=5,t=-2$; kiểm tra $z$: $2+2\cdot 5=12\ne -1-3(-2)=5$ → vô nghiệm, hai đường không cắt và không song song → chéo nhau. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $M(1;3;2)$ vào phương trình $d$ đều thỏa (bằng 0), nên $M\in d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d$ là $\vec{u}(1;-1;2)$, không phải $\vec{u}(1;3;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ có VTCP $(1;-1;2)$ cùng phương với $d$ và đi qua $(1;3;2)\in d$ nên $\Delta$ trùng với $d$, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTCP $(-3;1;-3)$ không cùng phương với $(1;-1;2)$; hệ phương trình tham số vô nghiệm (sai ở phương trình $z$), hai đường không cắt, không song song nên chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_1}=(-1;-2;1)$, $\overrightarrow{u_2}=(-3;2m;1)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$: $(-1)(-3)+(-2)(2m)+1\cdot 1=3-4m+1=0\Rightarrow 4m=4\Rightarrow m=1$. Kiểm tra: với $m=1$, $\overrightarrow{u_2}=(-3;2;1)$, tích có hướng $=3-4+1=0$. Vậy $m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $M$ thỏa cả hai phương trình tham số: $-3+2t=5+t^{\prime }$, $-2+3t=-1-4t^{\prime }$, $6+4t=20+t^{\prime }$. Từ hai phương trình đầu: $2t-t^{\prime }=8$ và $3t+4t^{\prime }=1$. Thay $t^{\prime }=2t-8$ vào: $3t+8t-32=1\Rightarrow 11t=33\Rightarrow t=3$, $t^{\prime }=-2$. Kiểm tra phương trình thứ ba: $6+4(3)=18=20+(-2)$ ✓. Vậy $M(3;7;18)$ và $a+b+c=3+7+18=28$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(-1;4;3)$, VTCP của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;-4;-3)=-\overrightarrow{u_1}$. Hai vectơ cùng phương nên hai đường thẳng song song, góc giữa chúng bằng $0^{\circ }$. Do đó $\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|-1-16-9|}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{26}}=\frac{26}{26}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_d}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-2;-1)$.

Cosin góc giữa hai đường thẳng:
$$\cos (d,\Delta )=\frac{|\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{u_{\Delta }}|}{|\overrightarrow{u_d}||\overrightarrow{u_{\Delta }}|}=\frac{|1\cdot 1+1\cdot (-2)+(-1)\cdot (-1)|}{\sqrt{1+1+1}\cdot \sqrt{1+4+1}}=\frac{|1-2+1|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}=\frac{0}{3\sqrt{2}}=0.$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ bằng $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc với nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(1;2;3)$ với VTCP $\vec{u}=(1;1;-1)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua điểm $(1;-1;2)$ với VTCP $\overrightarrow{u^{\prime }}=(2;2;-2)=2\vec{u}$. Vì $\overrightarrow{u^{\prime }}=2\vec{u}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Xét vectơ $\overrightarrow{AB}$ với $A(1;2;3)\in d$, $B(1;-1;2)\in d^{\prime }$: $\overrightarrow{AB}=(0;-3;-1)$. Kiểm tra $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\vec{u}$ vì $\frac{0}{1}\ne \frac{-3}{1}$. Vậy $d$ và $d^{\prime }$ song song với nhau nhưng không trùng nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;4;m-1)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(4;-1;2)$. Để ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2$ thì $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$: $2\cdot 4+4\cdot (-1)+(m-1)\cdot 2=0\iff 8-4+2m-2=0\iff 2m+2=0\iff m=-1$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa $d_1:(1+2t;7+t;3+4t)$ và $d_2:(3s;3-2s;-4+s)$. Giải hệ $1+2t=3s$, $7+t=3-2s$: từ phương trình hai $t=-4-2s$, thay vào $1+2(-4-2s)=3s\Rightarrow -7-4s=3s\Rightarrow s=-1$, $t=-2$. Kiểm tra phương trình ba: $3+4(-2)=-5=-4+(-1)$ thỏa mãn. Vậy $M=(1+2(-2);7+(-2);3+4(-2))=(-3;5;-5)$, thuộc cả hai đường thẳng. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;2)$ với $|\overrightarrow{u_1}|=3$; VTCP của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;2;2)$ với $|\overrightarrow{u_2}|=3$.

$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|2\cdot 1+(-1)\cdot 2+2\cdot 2|}{3\cdot 3}=\frac{|2-2+4|}{9}=\frac{4}{9}$$

Suy ra góc giữa hai tia sáng: $\cos \phi =\frac{4}{9}\Rightarrow \phi \approx 63,6^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 63,6.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-1;5;2)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|2\cdot (-1)+1\cdot 5+(-1)\cdot 2|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{180}}\approx 0,0745$, suy ra góc $\approx 85,73^{\circ }\approx 86^{\circ }\ne 85^{\circ }$ → Sai. b) $\overrightarrow{u_3}=(2;-10;-4)=-2\overrightarrow{u_2}$ nên $d_2\parallel d_3$ → Đúng. c) $\vec{u}=(2;1;1)$ không cùng phương với $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$ → Sai. d) Đường thẳng qua $A(-2;4;0)$ với VTCP $(7;-3;11)$: $\frac{x+2}{7}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{11}$ → Đúng. Khớp bảng đáp án mã đề 101: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$, $\overrightarrow{u_2}=(-1;5;2)$, $\cos \theta =\frac{|-2+5-2|}{\sqrt{6}\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{180}}\approx 0,0745$ nên $\theta \approx 85,73^{\circ }\approx 86^{\circ }\ne 85^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_3}=(2;-10;-4)=-2(-1;5;2)=-2\overrightarrow{u_2}$, hai vectơ cùng phương nên $d_2\parallel d_3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d_1$, VTCP là $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$, không cùng phương với $(2;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(-2;4;0)$, VTCP $(7;-3;11)$ có phương trình $\frac{x+2}{7}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{11}$, đúng như đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 1+2\cdot 1=-1-1+2=0$. Suy ra $\overrightarrow{u_1}\perp \overrightarrow{u_2}$, do đó góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Kết quả này khớp với bảng đáp án chính thức trang 9 (mã đề 1002, Câu 7 = A). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 1+2\cdot 1=-1-1+2=0$. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vecto vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_d}=(-2;-1;2)$, $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;3;-1)$. Tích vô hướng: $-2-3-2=-7$. Độ dài: $|\overrightarrow{u_d}|=\sqrt{4+1+4}=3$, $|\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$. Cosin góc giữa hai đường thẳng (lấy giá trị dương): $\cos (d;d^{\prime })=\frac{|-7|}{3\sqrt{11}}=\frac{7}{3\sqrt{11}}=\frac{7\sqrt{11}}{33}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u_1=(-1;2;2)$ và $u_2=(2;0;-1)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|(-1)(2)+2\cdot 0+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{4+0+1}}=\frac{4}{3\sqrt{5}}\approx 0,5963$. Vậy góc $\approx \arccos (0,5963)\approx 53,4^{\circ }\approx 53^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;6;3)$, đường thẳng ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(1;3;\frac{n}{2}\right)$. Để ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ thì $\overrightarrow{u_2}=k\overrightarrow{u_1}$ với $k=\frac{1}{2}$, suy ra $\frac{n}{2}=\frac{3}{2}$, tức $n=3$... kiểm tra lại: $\frac{n}{2}=k\cdot 3=\frac{3}{2}\Rightarrow n=3$. Tuy nhiên xét tỉ số: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{n/2}{3}\Rightarrow \frac{n}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow n=3$. Kiểm tra hai đường thẳng không trùng nhau: điểm $A(1;-5;0)\in {\Delta }_1$; với $n=3$, thay $A$ vào ${\Delta }_2$: $x=-4+t=1\Rightarrow t=5$, khi đó $y=3\cdot 5=15\ne -5$, nên $A\notin {\Delta }_2$, hai đường thẳng phân biệt. Vậy ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ khi $n=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;2;1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(4;3;5)$. Tính $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot 4+2\cdot 3+1\cdot 5=15$, $|\overrightarrow{u_1}|=\sqrt{6}$, $|\overrightarrow{u_2}|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Khi đó $\cos \phi =\frac{15}{\sqrt{6}\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{15}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\phi =30^{\circ }$. Vậy đáp án A.