Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của đường bay là $\overrightarrow{AB}=(3-(-40);5-30;0-20)=(43;-25;-20)$, với $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{43^2+25^2+20^2}=\sqrt{2874}\approx 53,61$. Vì mặt phẳng hạ cánh là $(Oxy)$, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|-20|}{\sqrt{2874}}$, nên $\cos \phi =\frac{\sqrt{43^2+25^2}}{\sqrt{2874}}=\frac{\sqrt{2474}}{\sqrt{2874}}\approx \frac{49,7394}{53,6097}\approx 0,9278$. Làm tròn đến hàng phần trăm: $\cos \phi \approx 0,93$. Các hình minh họa không chứa số liệu bổ sung.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-3y+z-5=0$ có véc-to pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;1)$. Đường thẳng vuông góc với $(P)$ có véc-to chỉ phương cùng phương với $\vec{n}$. Trong các đáp án, chỉ có $\vec{u}=(-2;3;-1)=-\vec{n}$ là cùng phương với $\vec{n}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của AB: $\overrightarrow{AB}=(2;2;1)$, vecto pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=(1;-2;-2)$. Góc $\theta$ giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{|2-4-2|}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$. Vậy $\theta =\arcsin \frac{4}{9}\approx 0,4510\approx 0,45$ radian.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;-3;4) vào (P): 1+2(-3)-2(4)+2 = -11 ≠ 0 nên M không thuộc (P) → sai. b) Đường thẳng qua M vuông góc (P) có VTCP là pháp tuyến n=(1;2;-2), nên phương trình: x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác đề → sai. c) u_d=(1;-1;2), n=(1;2;-2): sinα = |u·n|/(|u||n|) = |1-2-4|/(√6·3) = 5/(3√6) = 5√6/18 → đúng. d) Hình chiếu của u_d lên (P): u - (u·n/|n|²)n = (1;-1;2) - (-5/9)(1;2;-2) = (14/9;1/9;8/9) ∝ (14;1;8). Điểm (0;0;1) thuộc d và thuộc (P) nên hình chiếu là đường thẳng x/14 = y/1 = (z-1)/8 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;-3;4): 1+2(-3)-2(4)+2 = -11 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M vuông góc (P) phải có VTCP (1;2;-2): x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinα = |1-2-4|/(√6·3) = 5/(3√6) = 5√6/18.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của VTCP (1;-1;2) lên (P) là (14;1;8); điểm (0;0;1) chung của d và (P), nên phương trình x/14 = y/1 = (z-1)/8.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $d$: điểm trên $d$ có dạng $(-1+t;4+2t;6+3t)$. Thay vào $(P)$: $3(-1+t)+3(4+2t)+2(6+3t)-6=15+15t=0\Rightarrow t=-1$. Vậy $M(-2;2;3)$, tức $a=-2,b=2,c=3$. Do đó $a+b+2c=-2+2+2\cdot 3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $(-2;1;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;2;1)$. Tham số hóa: $x=-2+2t,y=1+2t,z=t$. Thay vào $(P):x+y+z+6=0$: $(-2+2t)+(1+2t)+t+6=0\Rightarrow 5t+5=0\Rightarrow t=-1$. Suy ra $M(-4;-1;-1)$. Đường $\Delta$ nằm trong $(P)$ nên vectơ chỉ phương $\vec{v}$ vuông góc với pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;1)$, đồng thời $\vec{v}\perp \vec{u}$. Chọn $\vec{v}=\vec{u}\times \vec{n}=(2;2;1)\times (1;1;1)=(2\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot 1-2\cdot 1;2\cdot 1-2\cdot 1)=(1;-1;0)$. Vì $N(2;b;c)\in \Delta$ qua $M(-4;-1;-1)$: $\frac{2+4}{1}=\frac{b+1}{-1}=\frac{c+1}{0}$, suy ra tham số $s=6$, $b=-1-6=-7$, $c=-1$. Vậy $T=b\cdot c=(-7)(-1)=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;1)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;4;5)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2\cdot 3+1\cdot 4+1\cdot 5|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{50}}=\frac{15}{\sqrt{300}}=\frac{15}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\alpha =60^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;2;-3)$, vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{u}=(1;0;0)$. Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|1|}{1\cdot \sqrt{1+4+9}}=\frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;-2;0),B(0;1;1),C(2;-1;3)$ nên $\overrightarrow{AB}=(-1;3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;3)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(3\cdot 3-1\cdot 1;1\cdot 1-(-1)\cdot 3;(-1)\cdot 1-3\cdot 1)=(8;4;-4)\parallel (2;1;-1)$. Góc $\phi$ giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-8+4-8|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{96}}=\frac{12}{\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{6}}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\phi =30^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của Δ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(2;1;1)$, VTPT của (P) là $\vec{n}=(1;-1;3)$. $\sin \alpha =\frac{|2-1+3|}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{66}}\approx 0,4924\Rightarrow \alpha \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$. Sai.
b) Với $\vec{u}=(1;1;0)$: $\cos =\frac{|2+1|}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$ góc bằng $30^{\circ }$. Đúng.
c) $M(1;-2;1)\in (P)$. Hình chiếu của $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ lên (P): $\overrightarrow{v^{\prime }}=\overrightarrow{u_{\Delta }}-\frac{\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \vec{n}}{|\vec{n}{|}^2}\vec{n}=(18/11;15/11;-1/11)$, $|\overrightarrow{v^{\prime }}|=\sqrt{50/11}\approx 2,132$. Cần $|\cos (\vec{u},\overrightarrow{v^{\prime }})|=\frac{(\sqrt{3}/2)|\overrightarrow{u_{\Delta }}|}{|\overrightarrow{v^{\prime }}|}=\frac{0,866\cdot 2,449}{2,132}\approx 0,9947<1$, nên trong mặt phẳng (P) có đúng 2 phương $\vec{u}$ thỏa mãn, mỗi phương cho đúng một đường thẳng qua M. Vậy tồn tại đúng hai đường thẳng d. Đúng.
d) $\vec{u}=(m;-20;3)$ phải nằm trong (P): $m+20+9=0\Rightarrow m=-29<0$. Kiểm tra: $\cos =\frac{|-58-20+3|}{\sqrt{1250}\sqrt{6}}=\frac{75}{50\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, góc đúng $30^{\circ }$ nhưng $m=-29<0$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{66}}\approx 0,4924\Rightarrow \alpha \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos =\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng (P) qua M có đúng hai phương tạo với Δ góc 30° vì $\frac{(\sqrt{3}/2)\sqrt{6}}{\sqrt{50/11}}\approx 0,9947<1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện nằm trong (P) cho $m=-29<0$ (góc vẫn đúng 30°).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta )$ có vtcp $\vec{u}=(1;-2;2)$, mặt phẳng $(P)$ có vtpt $\vec{n}=(m;-2;m-1)$.

a) Với $m=-2$: $\vec{n}=(-2;-2;-3)$, không cùng phương với $\vec{u}=(1;-2;2)$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$. Sai.

b) Với $m=1$: $\vec{n}=(1;-2;0)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+4+0=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$. Sai.

c) Với $m=-1$: $\vec{n}=(-1;-2;-2)$, $|\vec{n}|=3$, $|\vec{u}|=3$, $|\vec{u}\cdot \vec{n}|=|-1+4-4|=1$. $\sin \alpha =\frac{1}{9}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{\sqrt{80}}{9}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$. Đúng.

d) $\vec{u}\cdot \vec{n}=m+4+2(m-1)=3m+2$, nên $\sin 30^{\circ }=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{m^2+4+(m-1{)}^2}}=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 4(3m+2{)}^2=9(2m^2-2m+5)\Rightarrow 18m^2+66m-29=0$. Hai nghiệm phân biệt (vì $\Delta >0$) đều thỏa, tổng $m_1+m_2=-\frac{66}{18}=-\frac{11}{3}$, tức $a=-11,b=3$ (tối giản, $b>0$). Khi đó $a+b^2=-11+9=-2$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=-2$, $\vec{n}=(-2;-2;-3)$ không cùng phương với $\vec{u}=(1;-2;2)$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=1$, $\vec{n}=(1;-2;0)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=-1$: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{1}{9}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{4\sqrt{5}}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{u}\cdot \vec{n}=3m+2$, giải $\sin 30^{\circ }=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}$ được $18m^2+66m-29=0$, tổng hai nghiệm $=-\frac{11}{3}$, nên $a=-11,b=3$, $a+b^2=-11+9=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;1;2)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $$\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-2+1-2|}{3\cdot \sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\approx 0,9623.$$ Vậy $\phi =\arcsin \frac{5}{3\sqrt{3}}\approx 74,2^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của (d) là $\vec{u}=\overrightarrow{n_{\alpha }}\times \overrightarrow{n_{\beta }}$ với $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(3;-2;2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(5;-4;3)$. Tính tích có hướng: $\vec{u}=((-2)(3)-2(-4);2\cdot 5-3\cdot 3;3(-4)-(-2)(5))=(2;1;-2)$, nên $|\vec{u}|=3$. Mặt phẳng $(Oxy)$ có VTPT $\vec{k}=(0;0;1)$. Sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{k}|}{|\vec{u}||\vec{k}|}=\frac{|-2|}{3}=\frac{2}{3}$. Vậy $a=2$, $b=3$ (nguyên tố cùng nhau), $a+b=5$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $(d)$ có dạng $\vec{u}=(x,y,z)$ với điều kiện nằm trong $(P)$: $x-y+3z=0\Rightarrow x=y-3z$. VTCP của $(\Delta )$ là ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1;1)$. Góc $30^{\circ }$ cho: $$\frac{|2x+y+z|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Thay $x=y-3z$: $2x+y+z=3y-5z$ và $x^2+y^2+z^2=2y^2-6yz+10z^2$. Do đó $(3y-5z{)}^2=\frac{9}{2}(2y^2-6yz+10z^2)$, suy ra $-2z(3y+20z)=0$.

Trường hợp 1: $z=0\Rightarrow \vec{u}=(1;1;0)$, nhân với 9 được $(9;9;0)$ nên $a=9,b=0$.

Trường hợp 2: $3y=-20z\Rightarrow y=-\frac{20z}{3},x=-\frac{29z}{3}$, chọn $z=3$ được $\vec{u}=(-29;-20;-3)$ nên $c=-20,d=-3$.

Vậy $a+b+c+d=9+0-20-3=-14$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(1;3;5)$ và vuông góc với $(P):2x+y-3z+1=0$ nhận vectơ pháp tuyến của $(P)$ làm vectơ chỉ phương: $\vec{u}={\vec{n}}_P=(2;1;-3)$. Phương trình tham số: $x=1+2t,y=3+t,z=5-3t(t\in \mathbb{R})$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;1)$, mặt phẳng $(P):x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;0)$.

Sin của góc giữa $d$ và $(P)$:
$$\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|(-1)(1)+(2)(-1)+(1)(0)|}{\sqrt{1+4+1}\cdot \sqrt{1+1+0}}=\frac{|-3|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Suy ra $\phi =60^{\circ }$. Vậy góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $60^{\circ }$.

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là: ${\vec{n}}_{(Oxy)}=(0;0;1)$
Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow{AB}=(3;2;4)$
Ta có: $\sin \alpha =\cos \left(\overrightarrow{AB},(Oxy)\right)=\frac{\left|\vec{n}.\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\vec{n}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\frac{4}{1.\sqrt{9+4+16}}=\frac{4}{\sqrt{29}}$
suy ra $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{\sqrt{377}}{29}$.

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ $\overrightarrow{AB}=(4-1;5-3;6-2)=(3;2;4)$, nên $|AB|=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{k}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\vec{k}|}=\frac{4}{\sqrt{29}}$. Do đó $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{29}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{377}}{29}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4-1;5-3;6-2)=(3;2;4)$, độ dài $|AB|=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$. Vectơ pháp tuyến của $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{k}|}{|AB|\cdot |\vec{k}|}=\frac{4}{\sqrt{29}}$. Suy ra $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{29}}=\sqrt{\frac{13}{29}}=\frac{\sqrt{377}}{29}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 7: C).

Chọn A.



Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$, $B$ trên $(Oyz)$.

Vì $MA$, $MB$ luôn tạo với mặt phẳng $(Oyz)$ các góc bằng nhau. Nên $\widehat{AMH}=\widehat{BMK}$. Suy ra $\Delta AMH\sim \Delta BMK$

$$\Rightarrow \frac{MA}{MB}=\frac{AH}{BK}=\frac{d\left(A,(Oyz)\right)}{d\left(B,(Oyz)\right)}=2\Rightarrow MA=2MB.$$

(Vì $H\left(0;4;2\right),K\left(0;-1;2\right)$, suy ra $d\left(A,(Oyz)\right)=AH=2;d\left(B,(Oyz)\right)=BK=1$)

Gọi $M\left(0;y;z\right)$. Khi đó ta có:

$$MA=2MB\iff \sqrt{(0-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z-2{)}^2}=2\sqrt{(0-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2}$$

$$\iff y^2+z^2+\frac{16}{3}y-4z=0.\iff {\left(y+\frac{8}{3}\right)}^2+(z-2{)}^2=\frac{100}{9}.$$ Suy ra điểm $M$ luôn cách điểm $I\left(0;-\frac{8}{3};2\right)$ trên mặt $(Oyz)$ một khoảng không đổi bằng $\frac{10}{3}$. Vậy tổng các thành phần tọa độ điểm $I$ bằng $-\frac{2}{3}$.