Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-3y+z-5=0$ có véc-to pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;1)$. Đường thẳng vuông góc với $(P)$ có véc-to chỉ phương cùng phương với $\vec{n}$. Trong các đáp án, chỉ có $\vec{u}=(-2;3;-1)=-\vec{n}$ là cùng phương với $\vec{n}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của AB: $\overrightarrow{AB}=(2;2;1)$, vecto pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=(1;-2;-2)$. Góc $\theta$ giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{|2-4-2|}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$. Vậy $\theta =\arcsin \frac{4}{9}\approx 0,4510\approx 0,45$ radian.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $d$: điểm trên $d$ có dạng $(-1+t;4+2t;6+3t)$. Thay vào $(P)$: $3(-1+t)+3(4+2t)+2(6+3t)-6=15+15t=0\Rightarrow t=-1$. Vậy $M(-2;2;3)$, tức $a=-2,b=2,c=3$. Do đó $a+b+2c=-2+2+2\cdot 3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;1)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;4;5)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2\cdot 3+1\cdot 4+1\cdot 5|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{50}}=\frac{15}{\sqrt{300}}=\frac{15}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\alpha =60^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(1;2;-3)$, vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\vec{u}=(1;0;0)$. Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|1|}{1\cdot \sqrt{1+4+9}}=\frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;-2;0),B(0;1;1),C(2;-1;3)$ nên $\overrightarrow{AB}=(-1;3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;3)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(3\cdot 3-1\cdot 1;1\cdot 1-(-1)\cdot 3;(-1)\cdot 1-3\cdot 1)=(8;4;-4)\parallel (2;1;-1)$. Góc $\phi$ giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-8+4-8|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{96}}=\frac{12}{\sqrt{6}\cdot 4\sqrt{6}}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\phi =30^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;1;2)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $$\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-2+1-2|}{3\cdot \sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\approx 0,9623.$$ Vậy $\phi =\arcsin \frac{5}{3\sqrt{3}}\approx 74,2^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(1;3;5)$ và vuông góc với $(P):2x+y-3z+1=0$ nhận vectơ pháp tuyến của $(P)$ làm vectơ chỉ phương: $\vec{u}={\vec{n}}_P=(2;1;-3)$. Phương trình tham số: $x=1+2t,y=3+t,z=5-3t(t\in \mathbb{R})$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;1)$, mặt phẳng $(P):x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;0)$.

Sin của góc giữa $d$ và $(P)$:
$$\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|(-1)(1)+(2)(-1)+(1)(0)|}{\sqrt{1+4+1}\cdot \sqrt{1+1+0}}=\frac{|-3|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Suy ra $\phi =60^{\circ }$. Vậy góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $60^{\circ }$.

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là: ${\vec{n}}_{(Oxy)}=(0;0;1)$
Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow{AB}=(3;2;4)$
Ta có: $\sin \alpha =\cos \left(\overrightarrow{AB},(Oxy)\right)=\frac{\left|\vec{n}.\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\vec{n}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|}=\frac{4}{1.\sqrt{9+4+16}}=\frac{4}{\sqrt{29}}$
suy ra $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{\sqrt{377}}{29}$.

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ $\overrightarrow{AB}=(4-1;5-3;6-2)=(3;2;4)$, nên $|AB|=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{k}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\vec{k}|}=\frac{4}{\sqrt{29}}$. Do đó $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{29}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{377}}{29}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4-1;5-3;6-2)=(3;2;4)$, độ dài $|AB|=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$. Vectơ pháp tuyến của $(Oxy)$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{k}|}{|AB|\cdot |\vec{k}|}=\frac{4}{\sqrt{29}}$. Suy ra $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{16}{29}}=\sqrt{\frac{13}{29}}=\frac{\sqrt{377}}{29}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (d) có pháp tuyến song song (cùng phương) với (d). Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$ và vuông góc với (d) phải có vectơ pháp tuyến cùng phương với vectơ chỉ phương của (d). Với pháp tuyến cố định $\vec{n}$ và đi qua điểm $O$ cố định, mặt phẳng là duy nhất: $(\alpha ):\vec{n}\cdot (\vec{x}-\vec{O})=0$. Vậy chỉ tồn tại đúng một mặt phẳng thỏa mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;1;2)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-3;-5)$. Góc $\phi$ giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-2-3-10|}{3\sqrt{35}}=\frac{15}{3\sqrt{35}}=\frac{5}{\sqrt{35}}\approx 0,8452$. Suy ra $\phi \approx 57,7^{\circ }$, gần nhất với $57^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;\sqrt{2})$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;\sqrt{2})$. Vì $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$ nên $d\perp (P)$, góc giữa $d$ và $(P)$ bằng $90^{\circ }$. Kiểm tra bằng công thức: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{1+1+2}{2\cdot 2}=1\Rightarrow \alpha =90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(3;2;0)$ (hệ số của $t$; $z=-5$ không đổi nên thành phần $z$ bằng 0), không phải $(3;2;-5)$.
b) Đúng. Mặt phẳng $(P):2x+3y+z-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;1)$.
c) Đúng. Góc giữa $(P)$ và trục $Ox$: $\sin \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{i}|}{|\vec{n}|}=\frac{2}{\sqrt{14}}\approx 0,5345$, nên $\phi \approx 32,3^{\circ }$.
d) Sai. Thay phương trình của $d$ vào $(P)$: $2(1+3t)+3(3+2t)+(-5)-6=0\iff 12t=0\iff t=0$. Khi đó giao điểm có hoành độ $x=1+3\cdot 0=1\ne -1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;2;0)$, không phải $(3;2;-5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P):2x+3y+z-6=0$ có $\vec{n}=(2;3;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \phi =\frac{2}{\sqrt{14}}\approx 0,5345\Rightarrow \phi \approx 32,3^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay vào $(P)$ được $12t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow x=1$, không phải $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của $(P)$, tức là $\vec{u}=(2;-1;1)$. Đường thẳng đi qua $M(1;2;3)$ nên có phương trình tham số: $x=1+2t,y=2-t,z=3+t$. So với các phương án, đây chính là đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 1204, câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $d$: $x=1+2t,y=-3-t,z=2t$. Thay vào mặt phẳng $(\alpha )$: $(1+2t)+2(-3-t)-(2t)-2=0\Rightarrow 1+2t-6-2t-2t-2=0\Rightarrow -7-2t=0\Rightarrow t=-\frac{7}{2}$. Suy ra $M(-6;\frac{1}{2};-7)$. Khi đó $a-2b+c=-6-2\cdot \frac{1}{2}+(-7)=-6-1-7=-14$. Vậy chọn C.