Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-y+3z-6=0$ và đường thẳng $(\Delta ):\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{1}$. Xét 2 đường thẳng $(d)$ đi qua $M(1;-2;1)$, nằm trong $(P)$ và hợp với đường thẳng $(\Delta )$ góc $30^{\circ }$. Biết rằng các đường thẳng $(d)$ đó lần lượt có các VTCP là $(9;a;b)$ và $(-29;c;d)$. Tính $a+b+c+d$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;2)$, $B(1;-1;2)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho các đường thẳng $MA$, $MB$ luôn tạo với mặt phẳng $(Oyz)$ các góc bằng nhau. Biết rằng điểm $M$ luôn cách đều một điểm $I$ cố định thuộc mặt phẳng $(Oyz)$. Tìm tổng các thành phần tọa độ của điểm $I$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy; $M$ là trung điểm của cạnh $SB$. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên dưới, cosin của góc giữa đường thẳng $DM$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và mặt phẳng $(Q):4x-4y+3z-2=0$. Đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$, có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(m;n;1)$. Khi $\Delta$ tạo với $(Q)$ một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(Q)$ bằng bao nhiêu?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0),A(3;-4;2),B(-5;-2;1)$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f3]

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}$ và tạo với đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+t\\ z=-2\end{array}$ một góc lớn nhất, có phương trình là $ax+by+cz-7=0$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ và điểm $A(1;2;-3)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;4;-4)$ cắt $(P)$ tại $B$. Điểm $M$ thay đổi trên $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông. Độ dài $MB$ lớn nhất bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;4;-5),N(2;1;-3)$ và mặt phẳng $(P):x-y-z-3=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng $(P)$, các điểm $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M,N$ trên $\Delta$. Biết rằng khi $MH=NK$ thì trung điểm của $HK$ luôn thuộc một đường thẳng $d$ cố định, phương trình của $d$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-2;2;3),B(1;-1;3),C(3;1;-1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+2z-8=0$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho giá trị biểu thức $T=2M{A}^2+M{B}^2+3M{C}^2$ nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Q):-x+2y-2z-6=0$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz-3=0$. Biết mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và cách gốc $O$ một khoảng lớn nhất. Tổng $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-3}{-3}$ và $(P):2x-y+2z-3=0$. Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$, với $a,b,c\in \mathbb{Z},c>0,\gcd (b,c)=1$ thỏa mãn $\Delta$ đi qua $M(1;5;-2)$, song song với $(P)$ và đồng thời tạo với $d$ một góc bé nhất. Tính $T=a^2+b^2+c^2$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):(m+2)x-(m+1)y+m^{2}z-1=0$, với $m$ là tham số thực. Đường thẳng $\Delta$ luôn cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm cố định, gọi $d$ là khoảng cách từ điểm $I(2;1;3)$ đến đường thẳng $\Delta$. Giá trị lớn nhất của $d$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z-3=0$, điểm $M(3;1;1)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $M(3;1;1)$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và tạo với đường thẳng $d$ một góc nhỏ nhất. Lập phương trình của $\Delta$.

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$ và điểm $S(2;0;3)$. Đường thẳng $(\Delta )$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+(2a-2)t\\ y=-2+at\\ z=-4+t\end{array}$, trong đó $t$ là tham số và $a,t\in \mathbb{R}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa $S$ và $(\Delta )$, đường thẳng vuông góc với $(\alpha )$ tại $S$ cắt $(P)$ tại $N$. Khoảng cách $SN$ ngắn nhất bằng $\frac{m\sqrt{30}}{n},m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $(m,n)=1$. Tính giá trị biểu thức $m^2-n-1$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$, $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}$. Đường thẳng $(\Delta )$ song song với mặt phẳng $(P)$, cách $(P)$ một khoảng bằng $2\sqrt{3}$ đồng thời cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$. Biết điểm $A$ có hoành độ dương. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-1\\ z=-t\end{array}$ và mặt $(P):x+y+z-1=0$. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ cắt $d_1$ và $d_2$ có phương trình là

Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x - y + 3z - 6 = 0 và đường thẳng
x - 2 y - 3 z +1
(Δ) : = = . Dựng đường thẳng đi qua M (1; -2;1) , nằm trong ( P ) và tạo với
2 1 1
đường thằng ( $\Delta$ ) góc 30 . Biết rằng có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán có vectơ chỉ
phương lần lượt là ( 9; a; b ) và ( -29; c; d ) . Tính a + b + c + d .

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=1\\ z=2+t\end{array}$ và $(Q):x+2y-z+2=0$. Gọi ${\Delta }^{\prime }$ là đường thẳng đối xứng với $\Delta$ qua $(Q)$. Hỏi ${\Delta }^{\prime }$ đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(Q):x+2y+z-5=0$ một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm $M(3;2;1)$ cách mặt phẳng $(P)$ một khoảng bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;3; − 1) ; mặt phẳng
 x= 3 + t1  x= 2 + 2t2
 
( P ) : 2 x − 2 y − z + 5 =0 và hai đường thẳng d1 :  y= 2 + 2t1 ; d 2 :  y= 3 + t2 . Đường thẳng d đi qua
 z= 5 − 3t 
 1  z =−5 + t2
điểm A , cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 lần lượt tại B và C . Tính tổng khoảng cách từ B và C đến mặt
phẳng ( P ) .